Witam wszystkich!
Mam problem z obliczeniem granicy funkcji: \(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } \ln(1-x) ^{ \frac{1}{x} } }\)
Wpisując powyższy przykład w WolframAlpha otrzymuję wynik: granica lewostronna: \(\displaystyle{ -\infty }\) i granica prawostronna: \(\displaystyle{ 0}\).
Zupełnie nie rozumiem tych odpowiedzi, ponieważ wykorzystując regułę de l'Hospitala otrzymuję granicę wynoszącą \(\displaystyle{ -1}\).
Tak obliczam powyższy przykład z de l'Hospitala:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } \ln(1-x) ^{ \frac{1}{x} } = \lim_{ x\to0 } \frac{\ln(1-x)}{x} = \lim_{ x\to0 } \frac{-1}{1-x} = -1 }\)
Oblicz granicę funkcji
-
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 6 paź 2013, o 17:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Małopolskie
- Podziękował: 10 razy
Oblicz granicę funkcji
Ostatnio zmieniony 23 lut 2020, o 22:32 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie używaj wzorów w temacie posta. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Nie używaj wzorów w temacie posta. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Re: Oblicz granicę funkcji
Dobrze.favorite01997 pisze: ↑23 lut 2020, o 21:59 Tak obliczam powyższy przykład z de l'Hospitala:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } \ln(1-x) ^{ \frac{1}{x} } = \lim_{ x\to0 } \frac{\ln(1-x)}{x} = \lim_{ x\to0 } \frac{-1}{1-x} = -1 }\)
Może jeśli podasz link do wyników Wolframa, to ktoś wyjaśni wskazane przez Ciebie rozbieżności.
-
- Administrator
- Posty: 34242
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 6 paź 2013, o 17:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Małopolskie
- Podziękował: 10 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 89
- Rejestracja: 9 kwie 2017, o 16:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radomsko
- Pomógł: 5 razy
Re: Oblicz granicę funkcji
To jakaś bzdura. Jakim prawem zastępujesz potęgowanie dzieleniem?kerajs pisze: ↑23 lut 2020, o 23:51Dobrze.favorite01997 pisze: ↑23 lut 2020, o 21:59 Tak obliczam powyższy przykład z de l'Hospitala:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } \ln(1-x) ^{ \frac{1}{x} } = \lim_{ x\to0 } \frac{\ln(1-x)}{x} = \lim_{ x\to0 } \frac{-1}{1-x} = -1 }\)
Może jeśli podasz link do wyników Wolframa, to ktoś wyjaśni wskazane przez Ciebie rozbieżności.
Wyrażenie jest wyrażeniem typu \(\displaystyle{ \left[ 1^{\infty} \right] }\) a na takowe reguła de L'Hospitale'a nie działa. Musisz je sprowadzić w sposób prawidłowy do wyrażenia typu \(\displaystyle{ \left[ \frac {0}{0} \right] }\) albo \(\displaystyle{ \left[ \frac {\infty} {\infty} \right] }\)
A Ty tego na pewno w sposób prawidłowy nie zrobiłeś.
-
- Administrator
- Posty: 34242
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Oblicz granicę funkcji
Dość podstawowym prawem: \(\displaystyle{ \ln(b^c)=c\ln b.}\)
Zanim zarzucisz komuś pisanie bzdur warto się chwilę zastanowić.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Oblicz granicę funkcji
Drugi sposób (bez wykorzystania reguły de'Hospitala)
Korzystamy z wartości granicy \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \left(1 - x\right)^{\frac{1}{x}} = e^{-1} }\) i ciągłości funkcji \(\displaystyle{ \ln(x), }\)
\(\displaystyle{ \ln(e^{-1}) = -1. }\)
Korzystamy z wartości granicy \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \left(1 - x\right)^{\frac{1}{x}} = e^{-1} }\) i ciągłości funkcji \(\displaystyle{ \ln(x), }\)
\(\displaystyle{ \ln(e^{-1}) = -1. }\)