Granica lewostronna funkcji

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
matematykipatyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 235
Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo
Podziękował: 88 razy

Granica lewostronna funkcji

Post autor: matematykipatyk »

Nie wiem jak policzyć taka granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 2^{-} } \frac{x-2}{ \sqrt{4-x^2} } }\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Granica lewostronna funkcji

Post autor: a4karo »

Wzór na różnice kwadratów
matematykipatyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 235
Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo
Podziękował: 88 razy

Re: Granica lewostronna funkcji

Post autor: matematykipatyk »

Stosując ten wzór otrzymujemy:
\(\displaystyle{ = \lim_{x\to 2^{-}} \frac{x-2}{ \sqrt{x-2} \sqrt{x+2} } = \lim_{x\to 2^{-}} \sqrt{ \frac{x-2}{x+2}}= 0 }\)
Czy dobrze?

A jak policzyć

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 3^{-}} \frac{x+3}{ \sqrt{x^2-9} }}\)
Ostatnio zmieniony 23 lut 2020, o 22:14 przez matematykipatyk, łącznie zmieniany 2 razy.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Granica lewostronna funkcji

Post autor: a4karo »

Licznik źle przepisałes
Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 668
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 206 razy

Re: Granica lewostronna funkcji

Post autor: JHN »

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 2^{-} } \frac{x-2}{ \sqrt{4-x^2} } =\lim_{ x\to 2^{-} } \frac{-\sqrt{2-x}\cdot\sqrt{2-x}}{ \sqrt{2-x}\cdot\sqrt{2+x} }=\cdots }\)

Pozdrawiam

[edited] wciąż za wolno piszę... Mianownik zresztą też!
matematykipatyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 235
Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo
Podziękował: 88 razy

Re: Granica lewostronna funkcji

Post autor: matematykipatyk »

Jeszcze raz chciałem się zapytać jak policzyć:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to -3^{-} } \frac{x+3}{ \sqrt{x^2-9} } }\)
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 746 razy

Re: Granica lewostronna funkcji

Post autor: mol_ksiazkowy »

:arrow: zacząć od dziedziny...
matematykipatyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 235
Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo
Podziękował: 88 razy

Re: Granica lewostronna funkcji

Post autor: matematykipatyk »

No właśnie dostaję
\(\displaystyle{ \lim_{x \to-3^{-} } \frac{ \sqrt{x+3} }{ \sqrt{x-3} } }\)
No i w mianowniku dostaję liczbę ujemną. Dziedzina wyklucza \(\displaystyle{ x \in [ -3,3]}\). W książce jest odpowiedź że granica jest \(\displaystyle{ 0}\).
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Granica lewostronna funkcji

Post autor: Dasio11 »

matematykipatyk pisze: 24 lut 2020, o 17:01No właśnie dostaję
\(\displaystyle{ \lim_{x \to-3^{-} } \frac{ \sqrt{x+3} }{ \sqrt{x-3} } }\)
No i w mianowniku dostaję liczbę ujemną.
W jaki sposób mianownik wychodzi Ci ujemny?
matematykipatyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 235
Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo
Podziękował: 88 razy

Re: Granica lewostronna funkcji

Post autor: matematykipatyk »

Ojej. Miałem na myśli to, że nie wychodzi w ogóle bo nie istnieje pierwiastek kwadratowy z liczb ujemnych.
Ostatnio zmieniony 24 lut 2020, o 21:20 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: w ogóle.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Granica lewostronna funkcji

Post autor: Dasio11 »

Skoro dla liczb \(\displaystyle{ x}\) delikatnie mniejszych od \(\displaystyle{ -3}\) wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{x+3}{\sqrt{x^2-9}}}\) ma sens, a wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{x-3}}}\) go nie ma, to znaczy że przekształcenie było niepoprawne.

Przekształć raczej tak:

\(\displaystyle{ \frac{x+3}{\sqrt{x^2-9}} = \frac{-|x+3|}{\sqrt{(x+3)(x-3)}} = -\frac{\sqrt{(x+3)^2}}{\sqrt{(x+3)(x-3)}} = -\sqrt{ \frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-3)}} = \ldots}\)
matematykipatyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 235
Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo
Podziękował: 88 razy

Re: Granica lewostronna funkcji

Post autor: matematykipatyk »

\(\displaystyle{ = \lim_{x \to -3^{-}} \sqrt{ \frac{x+3}{x-3} } }\)
matematykipatyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 235
Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo
Podziękował: 88 razy

Re: Granica lewostronna funkcji

Post autor: matematykipatyk »

Przepraszam, że powracam do zadania po takim czasie, ale nadal mi nie wychodzi rozwiązanie ponieważ:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to-3^{-} } \frac{ \sqrt{x+3} }{ \sqrt{x-3} } = \lim_{x \to-3^{-} } -\sqrt{ \frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-3)}} = \lim_{x \to-3^{-} } -\sqrt{ \frac{(x+3)}{(x-3)}} = \left[ - \frac{0}{ \sqrt{-6} } \right] }\)
więc nadal mamy liczbę ujemną pod pierwiastkiem
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Granica lewostronna funkcji

Post autor: Jan Kraszewski »

matematykipatyk pisze: 12 mar 2021, o 22:53nadal mi nie wychodzi rozwiązanie ponieważ:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to-3^{-} } \frac{ \sqrt{x+3} }{ \sqrt{x-3} } = \lim_{x \to-3^{-} } -\sqrt{ \frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-3)}} }\)
Najwyraźniej już zapomniałeś, że wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{x+3} }{ \sqrt{x-3} }}\) dla \(\displaystyle{ x<-3}\) nie ma sensu. Powinno być

\(\displaystyle{ \lim_{x \to-3^{-} } \frac{x+3 }{ \sqrt{x^2-9} } = \lim_{x \to-3^{-} } -\sqrt{ \frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-3)}} }\)
matematykipatyk pisze: 12 mar 2021, o 22:53\(\displaystyle{ \lim_{x \to-3^{-} } -\sqrt{ \frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-3)}}= \lim_{x \to-3^{-} } -\sqrt{ \frac{(x+3)}{(x-3)}} = \left[ - \frac{0}{ \sqrt{-6} } \right]}\)
więc nadal mamy liczbę ujemną pod pierwiastkiem
W żadnym momencie nie masz liczby ujemnej pod pierwiastkiem. Gdzie Ty ją widzisz?

Pod pierwiastkiem masz wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{x+3}{x-3}}\), które dla \(\displaystyle{ x<-3}\) (a takich potrzebujesz przy tej granicy) jest dodatnie.

JK
matematykipatyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 235
Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo
Podziękował: 88 razy

Re: Granica lewostronna funkcji

Post autor: matematykipatyk »

Jak to powinienem to policzyć w momencie jak otrzymuje granicę :
\(\displaystyle{ \displaystyle{ \lim_{x \to-3^{-} } -\sqrt{ \frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-3)}} = \lim_{x \to-3^{-} } -\sqrt{ \frac{(x+3)}{(x-3)}} }}\)
ODPOWIEDZ