Granica lewostronna funkcji

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
matematykipatyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 235
Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo
Podziękował: 88 razy

Granica lewostronna funkcji

Post autor: matematykipatyk » 23 lut 2020, o 21:24

Nie wiem jak policzyć taka granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 2^{-} } \frac{x-2}{ \sqrt{4-x^2} } }\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19414
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3279 razy

Re: Granica lewostronna funkcji

Post autor: a4karo » 23 lut 2020, o 21:27

Wzór na różnice kwadratów

matematykipatyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 235
Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo
Podziękował: 88 razy

Re: Granica lewostronna funkcji

Post autor: matematykipatyk » 23 lut 2020, o 22:05

Stosując ten wzór otrzymujemy:
\(\displaystyle{ = \lim_{x\to 2^{-}} \frac{x-2}{ \sqrt{x-2} \sqrt{x+2} } = \lim_{x\to 2^{-}} \sqrt{ \frac{x-2}{x+2}}= 0 }\)
Czy dobrze?

A jak policzyć

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 3^{-}} \frac{x+3}{ \sqrt{x^2-9} }}\)
Ostatnio zmieniony 23 lut 2020, o 22:14 przez matematykipatyk, łącznie zmieniany 2 razy.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19414
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3279 razy

Re: Granica lewostronna funkcji

Post autor: a4karo » 23 lut 2020, o 22:11

Licznik źle przepisałes

Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 558
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 170 razy

Re: Granica lewostronna funkcji

Post autor: JHN » 23 lut 2020, o 22:18

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 2^{-} } \frac{x-2}{ \sqrt{4-x^2} } =\lim_{ x\to 2^{-} } \frac{-\sqrt{2-x}\cdot\sqrt{2-x}}{ \sqrt{2-x}\cdot\sqrt{2+x} }=\cdots }\)

Pozdrawiam

[edited] wciąż za wolno piszę... Mianownik zresztą też!

matematykipatyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 235
Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo
Podziękował: 88 razy

Re: Granica lewostronna funkcji

Post autor: matematykipatyk » 24 lut 2020, o 10:12

Jeszcze raz chciałem się zapytać jak policzyć:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to -3^{-} } \frac{x+3}{ \sqrt{x^2-9} } }\)

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6480
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

Re: Granica lewostronna funkcji

Post autor: mol_ksiazkowy » 24 lut 2020, o 10:21

:arrow: zacząć od dziedziny...

matematykipatyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 235
Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo
Podziękował: 88 razy

Re: Granica lewostronna funkcji

Post autor: matematykipatyk » 24 lut 2020, o 17:01

No właśnie dostaję
\(\displaystyle{ \lim_{x \to-3^{-} } \frac{ \sqrt{x+3} }{ \sqrt{x-3} } }\)
No i w mianowniku dostaję liczbę ujemną. Dziedzina wyklucza \(\displaystyle{ x \in [ -3,3]}\). W książce jest odpowiedź że granica jest \(\displaystyle{ 0}\).

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9517
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 2116 razy

Re: Granica lewostronna funkcji

Post autor: Dasio11 » 24 lut 2020, o 17:18

matematykipatyk pisze:
24 lut 2020, o 17:01
No właśnie dostaję
\(\displaystyle{ \lim_{x \to-3^{-} } \frac{ \sqrt{x+3} }{ \sqrt{x-3} } }\)
No i w mianowniku dostaję liczbę ujemną.
W jaki sposób mianownik wychodzi Ci ujemny?

matematykipatyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 235
Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo
Podziękował: 88 razy

Re: Granica lewostronna funkcji

Post autor: matematykipatyk » 24 lut 2020, o 17:24

Ojej. Miałem na myśli to, że nie wychodzi w ogóle bo nie istnieje pierwiastek kwadratowy z liczb ujemnych.
Ostatnio zmieniony 24 lut 2020, o 21:20 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: w ogóle.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9517
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 2116 razy

Re: Granica lewostronna funkcji

Post autor: Dasio11 » 24 lut 2020, o 17:52

Skoro dla liczb \(\displaystyle{ x}\) delikatnie mniejszych od \(\displaystyle{ -3}\) wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{x+3}{\sqrt{x^2-9}}}\) ma sens, a wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{x-3}}}\) go nie ma, to znaczy że przekształcenie było niepoprawne.

Przekształć raczej tak:

\(\displaystyle{ \frac{x+3}{\sqrt{x^2-9}} = \frac{-|x+3|}{\sqrt{(x+3)(x-3)}} = -\frac{\sqrt{(x+3)^2}}{\sqrt{(x+3)(x-3)}} = -\sqrt{ \frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-3)}} = \ldots}\)

matematykipatyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 235
Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo
Podziękował: 88 razy

Re: Granica lewostronna funkcji

Post autor: matematykipatyk » 24 lut 2020, o 18:29

\(\displaystyle{ = \lim_{x \to -3^{-}} \sqrt{ \frac{x+3}{x-3} } }\)

matematykipatyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 235
Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo
Podziękował: 88 razy

Re: Granica lewostronna funkcji

Post autor: matematykipatyk » 12 mar 2021, o 22:53

Przepraszam, że powracam do zadania po takim czasie, ale nadal mi nie wychodzi rozwiązanie ponieważ:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to-3^{-} } \frac{ \sqrt{x+3} }{ \sqrt{x-3} } = \lim_{x \to-3^{-} } -\sqrt{ \frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-3)}} = \lim_{x \to-3^{-} } -\sqrt{ \frac{(x+3)}{(x-3)}} = \left[ - \frac{0}{ \sqrt{-6} } \right] }\)
więc nadal mamy liczbę ujemną pod pierwiastkiem

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27864
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4641 razy

Re: Granica lewostronna funkcji

Post autor: Jan Kraszewski » 12 mar 2021, o 23:09

matematykipatyk pisze:
12 mar 2021, o 22:53
nadal mi nie wychodzi rozwiązanie ponieważ:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to-3^{-} } \frac{ \sqrt{x+3} }{ \sqrt{x-3} } = \lim_{x \to-3^{-} } -\sqrt{ \frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-3)}} }\)
Najwyraźniej już zapomniałeś, że wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{x+3} }{ \sqrt{x-3} }}\) dla \(\displaystyle{ x<-3}\) nie ma sensu. Powinno być

\(\displaystyle{ \lim_{x \to-3^{-} } \frac{x+3 }{ \sqrt{x^2-9} } = \lim_{x \to-3^{-} } -\sqrt{ \frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-3)}} }\)
matematykipatyk pisze:
12 mar 2021, o 22:53
\(\displaystyle{ \lim_{x \to-3^{-} } -\sqrt{ \frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-3)}}= \lim_{x \to-3^{-} } -\sqrt{ \frac{(x+3)}{(x-3)}} = \left[ - \frac{0}{ \sqrt{-6} } \right]}\)
więc nadal mamy liczbę ujemną pod pierwiastkiem
W żadnym momencie nie masz liczby ujemnej pod pierwiastkiem. Gdzie Ty ją widzisz?

Pod pierwiastkiem masz wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{x+3}{x-3}}\), które dla \(\displaystyle{ x<-3}\) (a takich potrzebujesz przy tej granicy) jest dodatnie.

JK

matematykipatyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 235
Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo
Podziękował: 88 razy

Re: Granica lewostronna funkcji

Post autor: matematykipatyk » 13 mar 2021, o 19:51

Jak to powinienem to policzyć w momencie jak otrzymuje granicę :
\(\displaystyle{ \displaystyle{ \lim_{x \to-3^{-} } -\sqrt{ \frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-3)}} = \lim_{x \to-3^{-} } -\sqrt{ \frac{(x+3)}{(x-3)}} }}\)

ODPOWIEDZ