Matematyka.pl

Nie wiem jak policzyć taka granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 2^{-} } \frac{x-2}{ \sqrt{4-x^2} } }\)

Wzór na różnice kwadratów

Stosując ten wzór otrzymujemy:
\(\displaystyle{ = \lim_{x\to 2^{-}} \frac{x-2}{ \sqrt{x-2} \sqrt{x+2} } = \lim_{x\to 2^{-}} \sqrt{ \frac{x-2}{x+2}}= 0 }\)
Czy dobrze?

A jak policzyć

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 3^{-}} \frac{x+3}{ \sqrt{x^2-9} }}\)

Licznik źle przepisałes

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 2^{-} } \frac{x-2}{ \sqrt{4-x^2} } =\lim_{ x\to 2^{-} } \frac{-\sqrt{2-x}\cdot\sqrt{2-x}}{ \sqrt{2-x}\cdot\sqrt{2+x} }=\cdots }\)

Pozdrawiam

[edited] wciąż za wolno piszę... Mianownik zresztą też!

Jeszcze raz chciałem się zapytać jak policzyć:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to -3^{-} } \frac{x+3}{ \sqrt{x^2-9} } }\)

zacząć od dziedziny...

No właśnie dostaję
\(\displaystyle{ \lim_{x \to-3^{-} } \frac{ \sqrt{x+3} }{ \sqrt{x-3} } }\)
No i w mianowniku dostaję liczbę ujemną. Dziedzina wyklucza \(\displaystyle{ x \in [ -3,3]}\). W książce jest odpowiedź że granica jest \(\displaystyle{ 0}\).

matematykipatyk pisze: ↑24 lut 2020, o 17:01No właśnie dostaję
\(\displaystyle{ \lim_{x \to-3^{-} } \frac{ \sqrt{x+3} }{ \sqrt{x-3} } }\)
No i w mianowniku dostaję liczbę ujemną.

W jaki sposób mianownik wychodzi Ci ujemny?

Ojej. Miałem na myśli to, że nie wychodzi w ogóle bo nie istnieje pierwiastek kwadratowy z liczb ujemnych.

Skoro dla liczb \(\displaystyle{ x}\) delikatnie mniejszych od \(\displaystyle{ -3}\) wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{x+3}{\sqrt{x^2-9}}}\) ma sens, a wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{x-3}}}\) go nie ma, to znaczy że przekształcenie było niepoprawne.

Przekształć raczej tak:

\(\displaystyle{ \frac{x+3}{\sqrt{x^2-9}} = \frac{-|x+3|}{\sqrt{(x+3)(x-3)}} = -\frac{\sqrt{(x+3)^2}}{\sqrt{(x+3)(x-3)}} = -\sqrt{ \frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-3)}} = \ldots}\)

Przepraszam, że powracam do zadania po takim czasie, ale nadal mi nie wychodzi rozwiązanie ponieważ:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to-3^{-} } \frac{ \sqrt{x+3} }{ \sqrt{x-3} } = \lim_{x \to-3^{-} } -\sqrt{ \frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-3)}} = \lim_{x \to-3^{-} } -\sqrt{ \frac{(x+3)}{(x-3)}} = \left[ - \frac{0}{ \sqrt{-6} } \right] }\)
więc nadal mamy liczbę ujemną pod pierwiastkiem

matematykipatyk pisze: ↑12 mar 2021, o 22:53nadal mi nie wychodzi rozwiązanie ponieważ:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to-3^{-} } \frac{ \sqrt{x+3} }{ \sqrt{x-3} } = \lim_{x \to-3^{-} } -\sqrt{ \frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-3)}} }\)

Najwyraźniej już zapomniałeś, że wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{x+3} }{ \sqrt{x-3} }}\) dla \(\displaystyle{ x<-3}\) nie ma sensu. Powinno być

\(\displaystyle{ \lim_{x \to-3^{-} } \frac{x+3 }{ \sqrt{x^2-9} } = \lim_{x \to-3^{-} } -\sqrt{ \frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-3)}} }\)

matematykipatyk pisze: ↑12 mar 2021, o 22:53\(\displaystyle{ \lim_{x \to-3^{-} } -\sqrt{ \frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-3)}}= \lim_{x \to-3^{-} } -\sqrt{ \frac{(x+3)}{(x-3)}} = \left[ - \frac{0}{ \sqrt{-6} } \right]}\)
więc nadal mamy liczbę ujemną pod pierwiastkiem

W żadnym momencie nie masz liczby ujemnej pod pierwiastkiem. Gdzie Ty ją widzisz?

Pod pierwiastkiem masz wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{x+3}{x-3}}\), które dla \(\displaystyle{ x<-3}\) (a takich potrzebujesz przy tej granicy) jest dodatnie.

JK

Jak to powinienem to policzyć w momencie jak otrzymuje granicę :
\(\displaystyle{ \displaystyle{ \lim_{x \to-3^{-} } -\sqrt{ \frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-3)}} = \lim_{x \to-3^{-} } -\sqrt{ \frac{(x+3)}{(x-3)}} }}\)