Cześć, jak policzyć taką granicę?
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 } \frac{1 - \cos( e^{x} -1) }{x \cdot \ln(1 +x)} }\)
Oblicz granicę
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Oblicz granicę
Ja bym tak rozpisał ten ułamek:
\(\displaystyle{ \frac{1-\cos\left(e^{x}-1\right)}{\left(e^{x}-1\right)^{2}}\cdot \left(\frac{e^{x}-1}{x}\right)^{2}\cdot \frac{x}{\ln(1+x)}}\)
i pierwszy czynnik dąży do \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) (chociażby poprzez wzór uzależniający \(\displaystyle{ \cos(2\alpha)}\) od \(\displaystyle{ \sin \alpha}\), dzięki czemu sprowadza się to do znanej granicy \(\displaystyle{ \lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1}\)), a drugi i trzeci do jedynki (znane granice specjalne).
\(\displaystyle{ \frac{1-\cos\left(e^{x}-1\right)}{\left(e^{x}-1\right)^{2}}\cdot \left(\frac{e^{x}-1}{x}\right)^{2}\cdot \frac{x}{\ln(1+x)}}\)
i pierwszy czynnik dąży do \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) (chociażby poprzez wzór uzależniający \(\displaystyle{ \cos(2\alpha)}\) od \(\displaystyle{ \sin \alpha}\), dzięki czemu sprowadza się to do znanej granicy \(\displaystyle{ \lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1}\)), a drugi i trzeci do jedynki (znane granice specjalne).