Granica z ln

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
p13
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 10 lis 2019, o 20:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 18 razy

Granica z ln

Post autor: p13 »

Ktoś ma pomysł na tę granicę?
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \left( \ln\left( 3n\right) - \ln\left( 3n+2 \right) \right) n }\)
Ostatnio zmieniony 14 lut 2020, o 19:46 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Granica z ln

Post autor: janusz47 »

\(\displaystyle{ = \lim_{n\to \infty} \ln\left( \frac{3n}{3n+2}\right)^{n} = \lim_{n\to \infty} \ln\left( 1 - \frac{2}{3n+2}\right)^{n} =...}\)

Odpowiedź:

\(\displaystyle{ \ln \left (e^{-\frac{2}{3}} \right) = -\frac{2}{3} }\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22172
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Granica z ln

Post autor: a4karo »

Albo tak:
\(\displaystyle{ \ln(3n+2)-\ln(3n)=\int_{3n}^{3n+2}\frac{dt}{t}}\) i \(\displaystyle{ \frac{2}{3n+2}<\int_{3n}^{3n+2}\frac{dt}{t}<\frac{2}{3n}}\) i twierdzenie o trzech ciągach kończy sprawę.

Albo tak
\(\displaystyle{ \ln(3n+2)-\ln(3n)=\frac{2}{\xi_n}\quad\text{gdzie}\quad 3n<\xi_n<3n+2}\) i kończymy jak wyżej
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Granica z ln

Post autor: janusz47 »

Ta różnica logarytmów w granicy jest odwrotna.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22172
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Granica z ln

Post autor: a4karo »

janusz47 pisze: 15 lut 2020, o 08:45 Ta różnica logarytmów w granicy jest odwrotna.
I co w związku z tym?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Granica z ln

Post autor: janusz47 »

Granicą ciągu nie jest liczba \(\displaystyle{ \frac{2}{3} }\) tylko \(\displaystyle{ -\frac{2}{3}.}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22172
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Granica z ln

Post autor: a4karo »

A czy ja gdzieś podałem taki wynik?

Przeczytaj wszystko jeszcze raz, dopisz sobie z przodu minus i już.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Granica z ln

Post autor: janusz47 »

Czytałem i zastanawiam się, jak tak proste zadanie można komplikować i dopisywać sobie znak minus, kiedy się chce.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22172
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Granica z ln

Post autor: a4karo »

No dobra, podsumujmy:

Wreszcie zrozumiałeś, że policzenie granicy \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} n(\ln(3n+2)-\ln(3n))}\) różni się od policzenia granicy \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} n(\ln(3n)-\ln(3n+2))}\) dopisaniem minusa. Chwała Ci za to.

Ja jestem trochę upośledzony i umiem rozwiązywać tyko nierówności między dodatnimi liczbami (to znaczy inne też umiem, ale moje lenistwo tu dominuje). Dlatego często stosują taki zabieg. W zamian nie mam kłopotów z odwracaniem znaków nierówności. Zysk i taki, że bawię się całką \(\displaystyle{ \int_{3n}^{3n+2} }\) zamiast \(\displaystyle{ \int_{3n+2}^{3n} }\) - uczniowie często mają z tym kłopoty i nie wiedzą dlaczego

$$-2\max f(t)<\int_{3n+2}^{3n} f(t)dt<-2 \min f(t)$$

Mogę sobie też pozwolić na swobodne mnożenie nierówności przed siebie (a w szczególności na podnoszenie do kwadratu) - cos, czego normalnie robić nie wolno..

Jak widzisz zysków mam mnóstwo, komplikacja zerowa.
pesel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1707
Rejestracja: 8 cze 2010, o 13:09
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 412 razy

Re: Granica z ln

Post autor: pesel »

janusz47 pisze: 15 lut 2020, o 08:45 Ta różnica logarytmów w granicy jest odwrotna.
Odwrotna czy przeciwna?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Granica z ln

Post autor: janusz47 »

Odwrotna miejscami ze zmienionymi znakami czyli przeciwna. Wyraziłem się nieprecyzyjnie.
ODPOWIEDZ