Granica z ln
-
- Użytkownik
- Posty: 68
- Rejestracja: 10 lis 2019, o 20:01
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 18 razy
Granica z ln
Ktoś ma pomysł na tę granicę?
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \left( \ln\left( 3n\right) - \ln\left( 3n+2 \right) \right) n }\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \left( \ln\left( 3n\right) - \ln\left( 3n+2 \right) \right) n }\)
Ostatnio zmieniony 14 lut 2020, o 19:46 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Re: Granica z ln
\(\displaystyle{ = \lim_{n\to \infty} \ln\left( \frac{3n}{3n+2}\right)^{n} = \lim_{n\to \infty} \ln\left( 1 - \frac{2}{3n+2}\right)^{n} =...}\)
Odpowiedź:
\(\displaystyle{ \ln \left (e^{-\frac{2}{3}} \right) = -\frac{2}{3} }\)
Odpowiedź:
\(\displaystyle{ \ln \left (e^{-\frac{2}{3}} \right) = -\frac{2}{3} }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22172
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Granica z ln
Albo tak:
\(\displaystyle{ \ln(3n+2)-\ln(3n)=\int_{3n}^{3n+2}\frac{dt}{t}}\) i \(\displaystyle{ \frac{2}{3n+2}<\int_{3n}^{3n+2}\frac{dt}{t}<\frac{2}{3n}}\) i twierdzenie o trzech ciągach kończy sprawę.
Albo tak
\(\displaystyle{ \ln(3n+2)-\ln(3n)=\frac{2}{\xi_n}\quad\text{gdzie}\quad 3n<\xi_n<3n+2}\) i kończymy jak wyżej
\(\displaystyle{ \ln(3n+2)-\ln(3n)=\int_{3n}^{3n+2}\frac{dt}{t}}\) i \(\displaystyle{ \frac{2}{3n+2}<\int_{3n}^{3n+2}\frac{dt}{t}<\frac{2}{3n}}\) i twierdzenie o trzech ciągach kończy sprawę.
Albo tak
\(\displaystyle{ \ln(3n+2)-\ln(3n)=\frac{2}{\xi_n}\quad\text{gdzie}\quad 3n<\xi_n<3n+2}\) i kończymy jak wyżej
-
- Użytkownik
- Posty: 22172
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Granica z ln
No dobra, podsumujmy:
Wreszcie zrozumiałeś, że policzenie granicy \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} n(\ln(3n+2)-\ln(3n))}\) różni się od policzenia granicy \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} n(\ln(3n)-\ln(3n+2))}\) dopisaniem minusa. Chwała Ci za to.
Ja jestem trochę upośledzony i umiem rozwiązywać tyko nierówności między dodatnimi liczbami (to znaczy inne też umiem, ale moje lenistwo tu dominuje). Dlatego często stosują taki zabieg. W zamian nie mam kłopotów z odwracaniem znaków nierówności. Zysk i taki, że bawię się całką \(\displaystyle{ \int_{3n}^{3n+2} }\) zamiast \(\displaystyle{ \int_{3n+2}^{3n} }\) - uczniowie często mają z tym kłopoty i nie wiedzą dlaczego
$$-2\max f(t)<\int_{3n+2}^{3n} f(t)dt<-2 \min f(t)$$
Mogę sobie też pozwolić na swobodne mnożenie nierówności przed siebie (a w szczególności na podnoszenie do kwadratu) - cos, czego normalnie robić nie wolno..
Jak widzisz zysków mam mnóstwo, komplikacja zerowa.
Wreszcie zrozumiałeś, że policzenie granicy \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} n(\ln(3n+2)-\ln(3n))}\) różni się od policzenia granicy \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} n(\ln(3n)-\ln(3n+2))}\) dopisaniem minusa. Chwała Ci za to.
Ja jestem trochę upośledzony i umiem rozwiązywać tyko nierówności między dodatnimi liczbami (to znaczy inne też umiem, ale moje lenistwo tu dominuje). Dlatego często stosują taki zabieg. W zamian nie mam kłopotów z odwracaniem znaków nierówności. Zysk i taki, że bawię się całką \(\displaystyle{ \int_{3n}^{3n+2} }\) zamiast \(\displaystyle{ \int_{3n+2}^{3n} }\) - uczniowie często mają z tym kłopoty i nie wiedzą dlaczego
$$-2\max f(t)<\int_{3n+2}^{3n} f(t)dt<-2 \min f(t)$$
Mogę sobie też pozwolić na swobodne mnożenie nierówności przed siebie (a w szczególności na podnoszenie do kwadratu) - cos, czego normalnie robić nie wolno..
Jak widzisz zysków mam mnóstwo, komplikacja zerowa.