Proszę o pomoc w obliczeniu dwóch przykładów...
Pierwszy przykład:\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^\frac{1}{x} }\)
drugi przykład: \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \arccos \left( \frac{e^x-1}{2x} \right) }\)
W pierwszym przykładzie wychodzi mi \(\displaystyle{ 1}\), lecz nie jestem pewien tego wyniku,
w drugim przykładzie totalnie się gubię... Obliczam L.Hospitalem, a następnie złożoną pochodną z \(\displaystyle{ \arccos x}\).
Granice funkcji
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Granice funkcji
Pierwszy:
mamy \(\displaystyle{ \sin x=x-\frac{x^{3}}{6}+o\left(x^{3}\right)}\) ze wzoru Taylora, więc wystarczy obliczyć granicę
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\left(\frac{x-\frac{x^{3}}{6}}{x}\right)^{\frac{1}{x}}=\ldots =1}\)
A jeśli nie chcesz korzystać ze wzoru Taylora, to dla \(\displaystyle{ x\in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)}\) możesz uzasadnić, że
\(\displaystyle{ x-\frac{x^{3}}{6}\le \sin x\le x}\) (za pomocą rachunku różniczkowego), stąd i z twierdzenia o trzech funkcjach masz granicę prawostronną, a lewostronna już z tego wynika, ponieważ
\(\displaystyle{ \left(\frac{\sin(-x)}{-x}\right)^{\frac{1}{-x}}=\frac{1}{\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x}}}}\).
Drugi: ze znanej granicy
\(\displaystyle{ \lim_{t\to 0}\frac{e^{t}-1}{t}=1}\) wynika, że argument arcusa cosinusa dąży do \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) i dalej można skorzystać z ciągłości funkcji arcus cosinus.
mamy \(\displaystyle{ \sin x=x-\frac{x^{3}}{6}+o\left(x^{3}\right)}\) ze wzoru Taylora, więc wystarczy obliczyć granicę
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\left(\frac{x-\frac{x^{3}}{6}}{x}\right)^{\frac{1}{x}}=\ldots =1}\)
A jeśli nie chcesz korzystać ze wzoru Taylora, to dla \(\displaystyle{ x\in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)}\) możesz uzasadnić, że
\(\displaystyle{ x-\frac{x^{3}}{6}\le \sin x\le x}\) (za pomocą rachunku różniczkowego), stąd i z twierdzenia o trzech funkcjach masz granicę prawostronną, a lewostronna już z tego wynika, ponieważ
\(\displaystyle{ \left(\frac{\sin(-x)}{-x}\right)^{\frac{1}{-x}}=\frac{1}{\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x}}}}\).
Drugi: ze znanej granicy
\(\displaystyle{ \lim_{t\to 0}\frac{e^{t}-1}{t}=1}\) wynika, że argument arcusa cosinusa dąży do \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) i dalej można skorzystać z ciągłości funkcji arcus cosinus.