Pokaz ze rownanie ma dokladnie n-1 rozwiazan

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
chmiel123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 5 lut 2020, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 3 razy

Pokaz ze rownanie ma dokladnie n-1 rozwiazan

Post autor: chmiel123 »

Czesc, czy moglibyscie pomoc mi z zadaniem ktore juz drugi raz pojawilo sie na egzaminie i z ktorym kompletnie nie wiem jak sobie poradzic.

Niech \(\displaystyle{ a _{1} < a _{2} < a _{3} < ... < a _{n} }\). Pokaz ze rownanie \(\displaystyle{ \frac{1}{x- a_{1} } + \frac{1}{x- a_{2} } + \frac{1}{x- a_{3} } + ... + \frac{1}{x- a_{n} } = 0}\) ma dokladnie \(\displaystyle{ n -1}\) rozwiazan.
Wsk. skorzystaj m. in. z twierdzenia o przyjmowaniu wartosci posrednich.
Ostatnio zmieniony 9 lut 2020, o 22:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Pokaz ze rownanie ma dokladnie n-1 rozwiazan

Post autor: Janusz Tracz »

Niech \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x- a_{1} } + \frac{1}{x- a_{2} } + \frac{1}{x- a_{3} } + ... + \frac{1}{x- a_{n} }}\) będzie określona na \(\displaystyle{ \RR \setminus \left\{ a_1,a_2,...,a_n\right\} }\). Zauważ, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to a_i}f(x)= \pm \infty }\) w zależności od sposobu dążenia to znaczy jeśli \(\displaystyle{ x \rightarrow a_i^{+}}\) to \(\displaystyle{ + \infty }\) a jeśli \(\displaystyle{ x \rightarrow a_i^-}\) to \(\displaystyle{ - \infty }\). Zatem pomiędzy \(\displaystyle{ a_i,a_{i+1}}\) musi leżeć taki punkt \(\displaystyle{ \xi}\) dla którego \(\displaystyle{ f(\xi)=0}\). A takich "przedziałów" jest właśnie \(\displaystyle{ n-1}\).

Pokazałem, że jest co najmniej \(\displaystyle{ n-1}\) miejsc zerowych. By pokazać, że jest ich dokładnie \(\displaystyle{ n-1}\) można policzyć \(\displaystyle{ f'(x)}\) i zauważyć, że funkcje jest przedziałami malejąca. Przy czym przedziały krańcowe tj. \(\displaystyle{ \left( - \infty ,a_1\right) }\) oraz \(\displaystyle{ \left( a_n, \infty \right) }\) nie zawierają miejsc zerowych.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Pokaz ze rownanie ma dokladnie n-1 rozwiazan

Post autor: a4karo »

A jeszcze prościej zauważyć, że

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{W'(x)}{W(x)}}\), gdzie \(\displaystyle{ W(x)=(x-a_1)(x-a_2)\cdot\ldots\cdot(x-a_n)}\)

Więcej niż `n-1` pierwiastków toto mieć nie może, a ma co najmniej jeden między pierwiastkami `W` z tw. Lagrange'a
ODPOWIEDZ