Wyznaczyć wszystkie funkcje ciągłe na odcinku

[ullortnaci]

Wyznaczyć wszystkie funkcje ciągłe określone na odcinku \(\displaystyle{ [0,1]}\) i o wartościach całkowitych.

[Dasio11]

Wskazówka: skorzystaj z własności Darboux.

[Premislav]

Są to jedynie funkcje stałe.
Definicja ciągłości mówi nam, że
\(\displaystyle{ (\forall x\in [0.1])(\forall \epsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall y\in [0,1])(|x-y|<\delta \implies |f(x)-f(y)|<\epsilon)}\). Weźmy w szczególności \(\displaystyle{ \epsilon=1}\) i zauważmy, że skoro \(\displaystyle{ f: [0,1]\rightarrow \ZZ}\), to z \(\displaystyle{ |f(x)-f(y)|<1}\) wynika, że \(\displaystyle{ f(x)=f(y)}\).
Ustalmy dowolną funkcję spełniającą warunki zadania. Rozpatrzmy teraz zbiór \(\displaystyle{ X=\left\{x\in [0,1]: f(x)=f(0)\right\}}\).
Zbiór ten jest niepusty (gdyż zero do niego należy) i ograniczony z góry, ma więc kres górny, który oznaczymy przez \(\displaystyle{ a}\).
Najpierw wykażemy, że \(\displaystyle{ a\in X}\). Weźmy \(\displaystyle{ \epsilon=1}\) i deltę czyniącą zadość warunkowi ciągłości funkcji \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ a}\) dla \(\displaystyle{ \epsilon=1}\). Z definicji kresu górnego w zbiorze \(\displaystyle{ (a-\delta, a)}\) znajdziemy element \(\displaystyle{ x_{0}}\) zbioru \(\displaystyle{ X}\) i wtedy skoro \(\displaystyle{ |f(x_{0})-f(a)|<1}\), to z wcześniejszej uwagi \(\displaystyle{ f(0)=f(x_{0})=f(a)}\). Zatem istotnie \(\displaystyle{ a\in X}\).
Przypuśćmy teraz nie wprost, że \(\displaystyle{ a<1}\). Widzisz, jak to dokończyć?

Można też przywalić od razu argumentami topologicznymi, ale to chyba lekka przesada.

[Dasio11]

O wiele prościej zauważyć, że gdyby taka funkcja przyjmowała dwie różne wartości \(\displaystyle{ u, v \in \ZZ, u < v}\), to z własności Darboux przyjęłaby też niecałkowitą wartość \(\displaystyle{ u+\frac{1}{2}}\), co jest sprzeczne z założeniem.

[Premislav]

Rzeczywiście! Cóż, nigdy nie byłem błyskotliwy.