Funkcja ciągła \(\displaystyle{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\) jest dwukrotnie różniczkowalna w zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{R} \setminus \{0\}}\), przy czym \(\displaystyle{ f''(x)=1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x \neq 0}\). Ponadto wiadomo, że:
Z warunku, że \(\displaystyle{ f''(x)=1}\) otrzymałem, że \(\displaystyle{ f(x) = \frac{x^2}{2} + cx + d }\) dla \(\displaystyle{ c,d \in \mathbb{R}}\).
Na przedziale \(\displaystyle{ (-\infty, \ 0)}\) z warunków otrzymałem, że \(\displaystyle{ f(x) = \frac{x^2}{2} + 3x + \frac{3}{2} }\)
Ale nie wiem co dalej robić na przedziale \(\displaystyle{ (0, +\infty)}\)
Używając twierdzenia Lagrange'a uzyskałem że \(\displaystyle{ f(5)=13+4c}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ c \in \mathbb{R}}\)
Czyli \(\displaystyle{ f(5)}\) mogłoby być dowolne.
Ale treść zadania wskazuje jakby istniał jeden wynik.
Widzę, o czym zapomniałem, funkcja jest ciągła też w\(\displaystyle{ f(0)}\), zmylił mnie zbiór na którym jest różniczkowalna, więc musi być \(\displaystyle{ f(0) = \frac{3}{2} }\) i wtedy mam dwa punkty i mogę wyznaczyć bez problemu współczynniki dla funkcji kwadratowej dla przedziału \(\displaystyle{ (0, +\infty)}\).