ciągłość funkcji z parametrem

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
july04
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 18 cze 2018, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1 raz

ciągłość funkcji z parametrem

Post autor: july04 »

Mam trudność w rozwiązaniu pewnego zadania. Będę wdzięczny za pomoc.
dla jakich parametrów \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) funkcja jest różniczkowalna.

\(\displaystyle{ f(x) =\begin{cases} \frac{x^2+2x-8}{x-2}& \text{gdy } x<2 \\ be^{x-2} + a & \text{gdy } x>2 \end{cases}}\)

Sądzę, że czegoś brakuje- w sensie zadanie zostało mi źle podane.
Ostatnio zmieniony 17 sty 2020, o 22:32 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości i tematu.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: ciągłość funkci zparametrem

Post autor: Premislav »

Tak, zabrakło określenia wartości \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ x_{0}=2}\), bez tego nie ma sensu rozważanie różniczkowalności w tym punkcie, ponieważ funkcja nie jest w nim nawet ciągła, gdyż nie jest tam określona.
july04
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 18 cze 2018, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1 raz

Re: ciągłość funkci zparametrem

Post autor: july04 »

Zasadniczo musiałem i tak dodać brakujący parametr, który zgubiłem w przepisywaniu do latex. Zakładam, że jedna z tych nierówności jest nieostra- najprawdopodobniej ta na górze.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: ciągłość funkci zparametrem

Post autor: a4karo »

Zadanie powinno brzmieć : dla jakich wartości parametrów można funkcję przedłużyć do funkcji różniczkowalnej
july04
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 18 cze 2018, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1 raz

Re: ciągłość funkci zparametrem

Post autor: july04 »

według moich obliczeń \(\displaystyle{ b = 6}\) a \(\displaystyle{ a = 0}\)
Ostatnio zmieniony 17 sty 2020, o 22:32 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: ciągłość funkcji z parametrem

Post autor: a4karo »

Nie, bo pochodna z lewej strony jest równa 1
july04
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 18 cze 2018, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1 raz

Re: ciągłość funkcji z parametrem

Post autor: july04 »

Poprawiłem obliczenia i ostatecznie wyszło, że \(\displaystyle{ a=5 }\) oraz \(\displaystyle{ b=1 }\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: ciągłość funkcji z parametrem

Post autor: a4karo »

Odpowiedz jest dobra. Pytanie, czy poprawne jest rozumowanie.
july04
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 18 cze 2018, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1 raz

Re: ciągłość funkcji z parametrem

Post autor: july04 »

granica pierwszego równania wynosi 6 tyle samo musi wynosić granica drugiego równania

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 2^{-} } = be ^{x-2} +a = 6}\) w szczególności w tym punkcie \(\displaystyle{ b+a=6 }\) i ta nierówność musi być nieostra.

Pochodna też w tym punkcie obu równań musi być równa. W przypadku pierwszego pochodna wynosi 1 niezależnie od zmiennej.
pochodna drugiego równania wynosi:

\(\displaystyle{ {f}'(x) =be^{x-2} }\)

Oczywistym jest, że pochodna w punkcie \(\displaystyle{ x=2}\) wynosi \(\displaystyle{ 1}\) tylko dla \(\displaystyle{ b=1 }\)
\(\displaystyle{ a=5 }\) obliczyłem już podstawiając \(\displaystyle{ b=1 }\) do równania granicy z parametrami.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: ciągłość funkcji z parametrem

Post autor: a4karo »

Ok, choć nie za bardzo wiem która nierówność musi być nieostra
ODPOWIEDZ