Granica funkcji.

[xdominika]

Obliczyć granicę: \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty }\left( \frac{\ln(2+ 2^{x})}{\ln(3+3 ^{x}) } \right)}\). Czy to będzie \(\displaystyle{ 0}\) czy \(\displaystyle{ \frac{\ln 2}{\ln 3}}\)?

[shreder221]

Obliczyć granicę: \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty }\left( \frac{\ln(2+ 2^{x})}{\ln(3+3 ^{x}) } \right)}\). Czy to będzie \(\displaystyle{ 0}\) czy \(\displaystyle{ \frac{\ln 2}{\ln 3}}\)?

Wydaje mi się że można przekształcić ten logarytm do stałej.
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty }\left[\left( \frac{\ln(2+ 2^{x})}{\ln(3+3 ^{x}) } \right)=
\frac{\ln 2^{x+1}}{\ln 3^{x+1}}=

\frac{(x+1) \ln 2 }{(x+1)\ln 3}=
\frac{\ln 2}{\ln 3}\right]=
\frac{\ln 2}{\ln 3}}\)

[piasek101]

Wydaje mi się że można przekształcić ten logarytm do stałej.
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty }\left[\left( \frac{\ln(2+ 2^{x})}{\ln(3+3 ^{x}) } \right)=
\frac{\ln 2^{x+1}}{\ln 3^{x+1}}=

\frac{(x+1) \ln 2 }{(x+1)\ln 3}=
\frac{ln 2}{ln 3}\right]=
\frac{ln 2}{ln 3}}\)

\(\displaystyle{ 2+2^x\neq 2^{1+x}}\) (poza małym wyjątkiem)

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty }\left[\left( \frac{\ln(2+ 2^{x})}{\ln(3+3 ^{x}) } \right)=
\frac{\ln 2^{x+1}}{\ln 3^{x+1}}=\frac{(x+1) \ln 2 }{(x+1)\ln 3}=\frac{\ln 2}{\ln 3}\right]=\frac{\ln 2}{\ln 3}}\)

Poza tym taki zapis jest fatalny i powinien być karalny.

JK

[shreder221]

Uwagi do mnie są a koleżance nie pomożecie . Oczywiście że się pomyliłem. Durny błąd jakich u mnie niestety pełno ;(
miałem sek czasu a że sam sporo korzystam to i pomóc chciałem, pośpieszyłem się i stało się ;(

Co do zapisu. Na początku też psioczyłem jak nam profesor pokazywał. Ale z biegiem czasu bardzo doceniłem Jak rozumiem uważasz że tępiony powinien być bo nie widać jakie działanie jest wykonywane? Czy z jakiegoś powodu?

Co do treści zadania wobec ewidentnej nieprawidłowości powyższego przekształcania na pierwszy rzut oka nie widzę jak dokładnie to zrobić.

Wydaje mi się że można spróbować z 3 ciągów ale głowy nie dam, a pomyśleć głębiej teraz nie pomyślę bo jak bardzo nie starał bym się skupić to w końcu pojawia mi się obraz mięciutkiej poduszki i ciepłej kołderki


tak czy inaczej wg kalkulatora granicą jest \(\displaystyle{ \frac{\ln 2}{\ln 3}}\)

[a4karo]

Wsk
$$\frac{\ln 2^x}{\ln 3^{x+1}}<\frac{\ln (2+2^x)}{\ln(3+3^x)}< \frac{\ln 2^{x+1}}{\ln 3^x}$$

[Janusz Tracz]

Albo (jak ktoś chciałby bez 3 granic):

\(\displaystyle{ \frac{\ln (2+2^x)}{\ln(3+3^x)}= \frac{\ln 2^x\left( \frac{2}{2^x} +1\right) }{\ln 3^x\left( \frac{3}{3^x} +1\right)}= \frac{x\ln 2+\ln \left( \frac{2}{2^x} +1\right)}{x\ln 3+\ln \left( \frac{3}{3^x} +1\right)} \rightarrow \frac{\ln 2}{\ln 3} }\)

[a4karo]

Fakt, chociaż ja bym napisał \(\ln \left(2^x\left(\frac{2}{2^x}+1\right)\right)\)

Ukryta treść:    

Uwaga: kod `\ln \left(2^x\left(\frac{2}{2^x}+1\right)\right)` daje przedziwny efekt:
`\ln \left(2^x\left(\frac{2}{2^x}+1\right)\right)`