\(\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty } \left( \frac{x^{2}+x+4}{x^2-x+3}\right)^{3x}= \lim_{x \to +\infty } \left( \frac{x^{2}-x+3+2x+1}{x^2-x+3}\right)^{3x}= \lim_{x \to +\infty } \left(1+ \frac{2x+1}{x^2-x+3}\right)^{3x}= \lim_{x \to +\infty } \left(\left(1+ \frac{2x+1}{x^2-x+3}\right)^{x^{2}-x+3} \right)^{\frac{3x}{x^{2}-x+3}} =(e^{2x+1})^{0}}\)
nie podoba mi się że w liczniku zostaje
\(\displaystyle{ 2x+1}\)
bo przez tą zmienną \(\displaystyle{ x}\) potem wynik nie wychodzi - może jakaś inna metoda? np rozkład na ułamki proste? tylko wtedy otrzymam w nawiasie
\(\displaystyle{ 1+ułamek+ułamek}\)
co nie do końca będzie pasować
znajdź granicę - funkcja wymierna
-
Dilectus
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Re: znajdź granicę - funkcja wymierna
Kombinuj inaczej. Zauważ, że
\(\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty } \left( \frac{x^{2}+x+4}{x^2-x+3}\right)= 1}\)
Łatwo to stwierdzić - wystarczy podzielić licznik i mianownik tego ułamka przez najwyższą potęgę mianownika, czyli przez \(\displaystyle{ x^2}\)
Wobec tego \(\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty } \left( \frac{x^{2}+x+4}{x^2-x+3}\right)^{3x}= \ "1^ \infty "}\), a więc masz nieoznaczoność.
\(\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty } \left( \frac{x^{2}+x+4}{x^2-x+3}\right)= 1}\)
Łatwo to stwierdzić - wystarczy podzielić licznik i mianownik tego ułamka przez najwyższą potęgę mianownika, czyli przez \(\displaystyle{ x^2}\)
Wobec tego \(\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty } \left( \frac{x^{2}+x+4}{x^2-x+3}\right)^{3x}= \ "1^ \infty "}\), a więc masz nieoznaczoność.
-
K4rol
- Użytkownik
- Posty: 301
- Rejestracja: 18 cze 2007, o 22:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Elbląg
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 7 razy
Re: znajdź granicę - funkcja wymierna
za płytko do tematu podchodzisz hehe, no mam nieoznaczoność ale z tego nic nie wynika
ogólnie odpowiedź to
\(\displaystyle{ e^{6}}\)
ogólnie odpowiedź to
\(\displaystyle{ e^{6}}\)
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: znajdź granicę - funkcja wymierna
\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} \left( \frac{x^2 +x + 4}{x^2 -x +3}\right)^{3x} }\)
Sprowadzamy obliczenie granicy do liczby \(\displaystyle{ e^{w} }\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} \left( \frac{x^2 +x + 4}{x^2 -x +3}\right)^{3x} = \lim_{x\to \infty} \left( 1 + \frac{2x+1}{x^2 -x +3}\right)^{3x} = \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{\frac{x^2-x +3}{2x+1}}\right)^{3x} = \lim_{x \to \infty} \left[\left( 1 + \frac{1}{\frac{x^2-x +3}{2x+1}}\right)^{\frac{x^2-x+3}{2x+1}}\right] ^{\frac{2x+1}{x^2 -x +3}\cdot 3x} = \\ =\lim_{x \to \infty} \left[ \left( 1 + \frac{1}{\frac{x^2-x +3}{2x+1}}\right)^{\frac{x^2-x+3}{2x+1}}\right] ^{\frac{6x^2+3x}{x^2 -x +3}} = e^{6}.}\)
Ostatnia równość wynika z istnienia granicy \(\displaystyle{ e }\) i ciągłości funkcji \(\displaystyle{ e^{f(x)}. }\)
Sprowadzamy obliczenie granicy do liczby \(\displaystyle{ e^{w} }\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} \left( \frac{x^2 +x + 4}{x^2 -x +3}\right)^{3x} = \lim_{x\to \infty} \left( 1 + \frac{2x+1}{x^2 -x +3}\right)^{3x} = \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{\frac{x^2-x +3}{2x+1}}\right)^{3x} = \lim_{x \to \infty} \left[\left( 1 + \frac{1}{\frac{x^2-x +3}{2x+1}}\right)^{\frac{x^2-x+3}{2x+1}}\right] ^{\frac{2x+1}{x^2 -x +3}\cdot 3x} = \\ =\lim_{x \to \infty} \left[ \left( 1 + \frac{1}{\frac{x^2-x +3}{2x+1}}\right)^{\frac{x^2-x+3}{2x+1}}\right] ^{\frac{6x^2+3x}{x^2 -x +3}} = e^{6}.}\)
Ostatnia równość wynika z istnienia granicy \(\displaystyle{ e }\) i ciągłości funkcji \(\displaystyle{ e^{f(x)}. }\)