Funkcja klasy Schwarza

[Benny01]

Mam funkcję \(\displaystyle{ g(x)= \frac{1}{\left( 1+\left| x\right|^2 \right)^k} , k \in \NN}\) - dowolnie ustalona. Muszę sprawdzić czy należy ona do klasy Schwarza, tzn. czy jest klasy \(\displaystyle{ C^ \infty \left( \RR^n\right) }\) oraz czy \(\displaystyle{ \forall p \in \NN_{0} \ \ \forall \beta \in \NN_0 ^\NN \ \ \exists C_{p, \beta } \ \ \forall x \in \RR^n}\)
\(\displaystyle{ \left( 1+\left| x\right|^2 \right)^p \cdot \left| D^{ \beta }g(x) \right| \le C_{p, \beta } }\)

Funkcja oczywiście jest klasy \(\displaystyle{ C^ \infty \left( \RR^n\right) }\), ale wydaje mi się że drugi warunek nie jest spełniony, ponieważ dowolna pochodna \(\displaystyle{ g(x)}\) będzie postaci \(\displaystyle{ \frac{W(x)}{\left( 1+\left| x\right|^2 \right)^{l}}}\), możemy znaleźć zatem tak duże \(\displaystyle{ p}\), że ta funkcja ucieknie do \(\displaystyle{ \infty }\).
Czy mam rację?

[Dasio11]

Masz rację, a konkretnie - wystarczy wziąć \(\displaystyle{ p = k+1}\) i \(\displaystyle{ \beta = 0}\).

\(\displaystyle{ \forall \beta \in \NN_0 ^\NN}\)

Tu pewnie miało być \(\displaystyle{ \forall \beta \in \NN_0}\)?

[Benny01]

Masz rację, a konkretnie - wystarczy wziąć \(\displaystyle{ p = k+1}\) i \(\displaystyle{ \beta = 0}\).

\(\displaystyle{ \forall \beta \in \NN_0 ^\NN}\)

Tu pewnie miało być \(\displaystyle{ \beta \in \NN_0}\)?

Jest tak jak napisałem, ponieważ \(\displaystyle{ \beta }\) to wielowskaźnik.
Dzięki za odpowiedź

[Jan Kraszewski]

Jest tak jak napisałem, ponieważ \(\displaystyle{ \beta }\) to wielowskaźnik.

Tak to jest, jak się nie oznacza porządnie zbiorów liczbowych. Jak piszesz \(\displaystyle{ N^N}\), to może to oznaczać zarówno \(\displaystyle{ N^N}\), jak i \(\displaystyle{ \NN^N}\) oraz \(\displaystyle{ \NN^\NN}\) czy \(\displaystyle{ N^\NN}\). Na pewno chodziło o \(\displaystyle{ \NN^\NN}\)? Bo tak poprawiłem ten zapis...

JK

[Benny01]

Chodziło o \(\displaystyle{ \NN \times \NN \times ... \times \NN=\NN ^{n}}\) - gdzie \(\displaystyle{ n}\) to wymiar przestrzeni.

[Jan Kraszewski]

Chodziło o \(\displaystyle{ \NN \times \NN \times ... \times \NN=\NN ^{n}}\) - gdzie \(\displaystyle{ n}\) to wymiar przestrzeni.

No widzisz, a napisałeś \(\displaystyle{ N^N}\)... Ja to poprawiłem na \(\displaystyle{ \NN^\NN}\) i dlatego Dasio11 był zdziwiony.

JK