\(\displaystyle{ a > 0}\) \(\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^a}{e^x} = 0}\)
Wiem, że granica równa się \(\displaystyle{ 0}\) (\(\displaystyle{ e^x > x^a}\) dla prawie wszystkich x) ale nie mam pojęcia jak to uzasadnić.
Jakby to był ciąg to skorzystałbym z szeregu, niestety tutaj \(\displaystyle{ x \in \RR}\) więc (chyba?) nie mogę tak zrobić.
Myślałem też jakby \(\displaystyle{ a}\) było naturalne to indukcji użyć i reguły Hospitala ale też niestety tak nie jest.
Proszę o pomoc
Wiem, że granica równa się \(\displaystyle{ 0}\) ( \(\displaystyle{ e^x>x^ \alpha }\) dla prawie wszystkich \(\displaystyle{ x}\))
To nie jest poprawne stwierdzenie. W dodatku nawet stosując przyjazną interpretację tych słów nic to nie daje w kontekście granicy.
Jakby to był ciąg to skorzystałbym z szeregu, niestety tutaj \(\displaystyle{ x\in \RR}\) więc (chyba?) nie mogę tak zrobić.
No powiedzmy. Ale można z tego wybrnąć szacowaniem
\(\displaystyle{ \frac{\left\lfloor x \right\rfloor^ \alpha }{e^{\left\lceil x \right\rceil}} \le \frac{x^ \alpha }{e^x} \le \frac{\left\lceil x \right\rceil^ \alpha }{e^{\left\lfloor x \right\rfloor}} }\)
Skoro dla "ciągu" czyli wtedy gdy \(\displaystyle{ x_n=n}\) granica ciągu \(\displaystyle{ \frac{x_n^ \alpha }{e^{x_n}} }\) dąży do zera to granice szacowań też będą dążyć do \(\displaystyle{ 0}\).
Myślałem też jakby \(\displaystyle{ \alpha }\) było naturalne to indukcji użyć i reguły Hospitala ale też niestety tak nie jest.
To jest ok. Tylko trzeba zadbać o przypadek gdzie \(\displaystyle{ \alpha \not\in\NN}\) co jest dość łatwe. Wystarczy szacowanie
Zależy, jak definiujesz funkcję wykładniczą. Jeśli wie się na przykład, że dla każdego ciągu liczb zespolonych \(\displaystyle{ z_n}\) dążącego do liczby \(\displaystyle{ z \in \mathbb C}\) zachodzi równość
