Niech \(\displaystyle{ f}\) bedzie ograniczona funkcja rzeczywista okreslona na przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\). Rozwazmy funkcje Baire'a:
\(\displaystyle{ h(x)= \lim_{ \delta\to 0} \inf_{ |y-x|\le\delta\to } f(y)}\)
\(\displaystyle{ H(x)= \lim_{ \delta\to 0} \sup_{ |y-x|\le\delta\to } f(y)}\)
Udowodnić że \(\displaystyle{ h(x)=H(x) \Leftrightarrow f}\) jest ciągła w x.
I dalsza część: pokazac że funkcje \(\displaystyle{ h,H}\) sa calkowalne w sensie Lebesgue'a oraz \(\displaystyle{ \int_{a}^{b} H(x)dx=I^{*}(f)}\), \(\displaystyle{ \int_{a}^{b} h(x)dx=I_{*}(f)}\), gdzie to \(\displaystyle{ I}\) to odpowiednio całka górna i dolna z funkcji \(\displaystyle{ f}\)
funkcje Baire'a ciągłość
-
- Użytkownik
- Posty: 2282
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: funkcje Baire'a ciągłość
Lemat 1. Dla każdego \(\displaystyle{ x\in[a,b]}\): \(\displaystyle{ h(x)\leq H(x)}\).
Lemat 2. Dla każdego \(\displaystyle{ x\in[a,b]}\): Jeśli istnieje \(\displaystyle{ \delta>0}\) oraz \(\displaystyle{ c\in\RR}\) takie, że \(\displaystyle{ f(y)\geq c}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ y\in[a,b]}\) spełniających \(\displaystyle{ |y-x|\leq \delta}\), to \(\displaystyle{ h(x)\geq c}\) i analogicznie: Jeśli istnieje \(\displaystyle{ \delta>0}\) oraz \(\displaystyle{ c\in\RR}\) takie, że \(\displaystyle{ f(y)\leq c}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ y\in[a,b]}\) spełniających \(\displaystyle{ |y-x|\leq \delta}\), to \(\displaystyle{ H(x)\leq c}\)
Pokazaliśmy, że dla każdego \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\) : \(\displaystyle{ h(x),H(x)\in [f(x)-\varepsilon,f(x)+\varepsilon]}\). Zatem \(\displaystyle{ h(x)=f(x)=H(x)}\).
Lemat 2. Dla każdego \(\displaystyle{ x\in[a,b]}\): Jeśli istnieje \(\displaystyle{ \delta>0}\) oraz \(\displaystyle{ c\in\RR}\) takie, że \(\displaystyle{ f(y)\geq c}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ y\in[a,b]}\) spełniających \(\displaystyle{ |y-x|\leq \delta}\), to \(\displaystyle{ h(x)\geq c}\) i analogicznie: Jeśli istnieje \(\displaystyle{ \delta>0}\) oraz \(\displaystyle{ c\in\RR}\) takie, że \(\displaystyle{ f(y)\leq c}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ y\in[a,b]}\) spełniających \(\displaystyle{ |y-x|\leq \delta}\), to \(\displaystyle{ H(x)\leq c}\)
Dowód implikacji \(\displaystyle{ \Longleftarrow}\) : Załóżmy, że \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w \(\displaystyle{ x}\). Niech \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\). Z ciągłości wynika, że istnieje \(\displaystyle{ \delta>0}\) taka, że ilekroć \(\displaystyle{ y\in[a,b]}\) oraz \(\displaystyle{ |y-x|\leq \delta}\), to \(\displaystyle{ f(x)-\varepsilon\leq f(y)\leq f(x)+\varepsilon}\). Z lematów 1 i 2 mamy zatem \(\displaystyle{ f(x)-\varepsilon\leq h(x)\leq H(x)\leq f(x)+\varepsilon}\).degel pisze: Udowodnić że \(\displaystyle{ h(x)=H(x) \Leftrightarrow f}\) jest ciągła w x.
Pokazaliśmy, że dla każdego \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\) : \(\displaystyle{ h(x),H(x)\in [f(x)-\varepsilon,f(x)+\varepsilon]}\). Zatem \(\displaystyle{ h(x)=f(x)=H(x)}\).