Elementarny dowód zbieżności funkcji

[Indifferentiable]

Korzystając z definicji Cauchy’ego granicy funkcji w punkcie, wykaż, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to 2} x^2 = 4}\).

Dla ścisłości, definicja Cauchy'ego z wpisanymi odpowiednimi wartościami (taką mieliśmy na wykładzie):
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 2} x^2 = 4 \Leftrightarrow \forall \epsilon>0,\exists \delta,\forall x\in \mathbb{R} : 0<|x-2|<\delta \Rightarrow |x^2 - 4|<\epsilon}\)



Jak dobrać \(\displaystyle{ \delta}\)?
Zaczynając przekształcać od strony \(\displaystyle{ |x^2 - 4|<\epsilon}\), można dojść do \(\displaystyle{ |x-2|\cdot|x+2|<\delta |x+2|}\).
Zaczynając przekształcać od strony \(\displaystyle{ 0<|x-2|<\delta}\), można dojść do \(\displaystyle{ |x^2 - 4|<\delta^2+2\delta}\).

[janusz47]

\(\displaystyle{ \delta (\varepsilon) ...= ? }\)

[a4karo]

Interesują Cię iksy w pobliżu dwójki, więc możesz przyjąć n.p. że `3< x+2<5`