Zbadaj ciągłość funkcji.

[Kuba3322]

Witam mam pewien problem, próbuje zbadać ciągłość następującej funkcji.

Niech \(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} x&\text{dla } x \in B \\ -1 &\text{dla } x \in \RR \setminus B \end{cases} }\)
Gdzie \(\displaystyle{ B=\left\{ \frac{1}{n}: n\in \NN\right\} \cup \{0\}}\) w punkcie \(\displaystyle{ x_{0}=0 }\) i \(\displaystyle{ x_{1}=1}\)
Próbuje rozpisać zbieganie z lewej i z prawej ale cały czas się gubię co jest czym

dla \(\displaystyle{ x_{0}=0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^{-}}f(x)=\lim_{x \to 0^{-}}-1=-1 }\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^{+}}f(x)=\lim_{x \to 0^{+}}x=0}\)
\(\displaystyle{ f(0)=0}\) Zatem funkcja jest ciągła tylko prawostronnie?
Proszę o pomoc w miarę możliwości, jeszcze mogę dodać że muszę obliczyć pochodne jednostronne, górną i dolną, Diniego, ale z tym mam nadzieje że sobie poradzę. Pozdrawiam.

[Janusz Tracz]

Skąd masz tą treść? Bo aktualnie definicja zbioru \(\displaystyle{ B}\) jest niezrozumiała (i nie jest to złośliwa uwaga o szczegóły ale fakt który uniemożliwia zrozumienie czym jest \(\displaystyle{ B}\)). Miało być \(\displaystyle{ B=\left\{ \frac{1}{n}: n\in\NN \right\} \cup \left\{ 0\right\} }\) ?

[Jan Kraszewski]

Miało być \(\displaystyle{ B=\left\{ \frac{1}{n}: n\in\NN \right\} \cup \left\{ 0\right\} }\) ?

Zapewne - na taki zbiór poprawiłem (zanim przeczytałem Twojego posta, który - niecelowo - uczyniłem trochę niezrozumiałym...).

JK

[a4karo]

No to prawostronna granicę skopales. Przemysl to

[Janusz Tracz]

Ok. No to z definicji. Sprawdzamy czy dla \(\displaystyle{ x_0=0}\) zachodzi:

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0}f(x)=f(0) }\)

oczywiście \(\displaystyle{ x_0\in B}\) dlatego \(\displaystyle{ f(0)=0}\). Ale jak słusznie zauważyłeś dążąc do \(\displaystyle{ 0}\) od lewej strony czyli \(\displaystyle{ x \rightarrow 0^-}\) żadem \(\displaystyle{ x}\) nie wpadnie do \(\displaystyle{ B}\) dlatego

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0^-}f(x)=-1}\)

co przeczy ciągłości koniec kropka. Trzeba było na tym poprzestać bo to wystarcza a dalej piszesz nieprawdę.

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^{+}}f(x)=\lim_{x \to 0^{+}}x=0}\)

To jest nieprawdą bo można dążyć do \(\displaystyle{ 0}\) pozostając w zbiorze \(\displaystyle{ \RR \setminus B}\) na którym \(\displaystyle{ f(x)}\) przyjmuje stale \(\displaystyle{ -1}\). Przeczy to prawostronnej ciągłości (co w sumie przeczy też ciągłość).

Zatem funkcja jest ciągła tylko prawostronnie?

Nie. Funkcja jest nieciągła prawostronnie i lewostronnie, choć nikt o to nie pyta.

W \(\displaystyle{ x_1=1}\) też ciągłości nie będzie bo można dążyć do \(\displaystyle{ 1}\) od strony prawej, a wszystkie liczby większe od \(\displaystyle{ 1}\) na pewno nie są w \(\displaystyle{ B}\) dlatego granica przyjmie wartość \(\displaystyle{ -1}\) natomiast \(\displaystyle{ 1\in B}\) dlatego \(\displaystyle{ f(1)=1}\)

[Kuba3322]

Otóż zbiór B uzyskałem z publikacji naukowej i wygląda on tak
\(\displaystyle{ B=\{x: x=\frac{1}{n}, n\in N\} \cup \{0\}}\)
Rozumiem przez to że \(\displaystyle{ B=\{0,1,\frac{1}{2}.....\}}\), czyli ułamki proste.
Dziękuje serdecznie za pomoc, rozświetliło mi to sytuacje, jednak mam wątpliwości co do ciągłości prawostronnej otóż w publikacji pisze że jest prawostronnie ciągła w punkcie \(\displaystyle{ x_{0}=0 }\). Wydaje mi się że jest to jakiś błąd.

[Jan Kraszewski]

Otóż zbiór B uzyskałem z publikacji naukowej i wygląda on tak
\(\displaystyle{ B=\{x: x=\frac{1}{n}, n\in N\} \cup \{0\}}\)

Ciekawe jakiej, bo formalnie jest on bardzo niepoprawny (albo - patrząc na to z innej strony - bardzo niechlujny).

jednak mam wątpliwości co do ciągłości prawostronnej otóż w publikacji pisze że jest prawostronnie ciągła w punkcie \(\displaystyle{ x_{0}=0 }\).

To bzdura. Obawiam się, że przymiotnik "naukowa" jest mocno na wyrost (albo Ty coś niepoprawnie cytujesz). Podaj proszę namiary na tę publikację.

JK

[Janusz Tracz]

Otóż zbiór \(\displaystyle{ B}\) uzyskałem z publikacji naukowej i wygląda on tak
\(\displaystyle{ B=\{x: x=\frac{1}{n}, n\in N\} \cup \{0\}}\)

A napisałeś \(\displaystyle{ B=\{x: x\in\frac{1}{n}, n\in N\} \cup \{0\}}\). A ten zapis już nie jest "niechlujny", jak to pieszczotliwie określił Pan Jan Kraszewski tylko jest bzdurą.

PS Ale mniejsza o OF w tym momencie, bardziej jestem ciekawy skąd ta publikacja.

Dodano po 15 minutach 39 sekundach:
Rozważ ciąg \(\displaystyle{ x_n= \frac{ \pi }{n} }\), każdy wyraz tego ciągu jest niewymierny oraz dodatni ponad to ciąg \(\displaystyle{ x_n \rightarrow 0}\). Zauważmy teraz, że niewymierność \(\displaystyle{ x_n}\) daje

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } f(x_n)=-1}\)

Wszak \(\displaystyle{ B \subset \QQ}\). Dlatego dążymy od prawej do \(\displaystyle{ 0}\) a mimo to nie spełniamy definicji ciągłości (prawostonnej).