Wiemy ze funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest taka że \(\displaystyle{ f''(x)>0, f(0)=f'(0)=0.}\) Niech \(\displaystyle{ z=x-\frac{f(x)}{f'(x)}}\). Wyznacz granicę
\(\displaystyle{ \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x^3\cdot f(z)}{f(x)\cdot\sin^3z} .}\)
granica i pochodna
-
- Użytkownik
- Posty: 138
- Rejestracja: 14 wrz 2018, o 18:56
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Brak
- Podziękował: 31 razy
- Pomógł: 4 razy
granica i pochodna
Ostatnio zmieniony 18 gru 2019, o 16:55 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: na razie. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Poprawa wiadomości: na razie. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Symbol mnożenia to \cdot.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: granica i pochodna
Jeżeli to zadanie ma być prawdziwe dla każdej funkcji będzie prawdziwe również dla :
\(\displaystyle{ f(x)=x^2}\)
Funkcja ta spełnia warunki zadania co łatwo sprawdzić:
po podstawieniu otrzymamy granicę:
\(\displaystyle{ \frac{1}{4} \lim_{x\to 0} \frac{x^3}{\sin^3( \frac{1}{2}x) } , \frac{1}{2}x = t}\)
mamy:
\(\displaystyle{ 2 \lim_{t \to 0} \frac{t^3}{\sin^3 t} =2 \lim_{t \to 0} \frac{6}{6\cos^3 t-21\sin^2 t \cos t} =2}\)
po trzykrotnym l'Hospitalu...
No i mile widziane kontrprzykłady jeżeli by nie było to prawdą...
\(\displaystyle{ f(x)=x^2}\)
Funkcja ta spełnia warunki zadania co łatwo sprawdzić:
po podstawieniu otrzymamy granicę:
\(\displaystyle{ \frac{1}{4} \lim_{x\to 0} \frac{x^3}{\sin^3( \frac{1}{2}x) } , \frac{1}{2}x = t}\)
mamy:
\(\displaystyle{ 2 \lim_{t \to 0} \frac{t^3}{\sin^3 t} =2 \lim_{t \to 0} \frac{6}{6\cos^3 t-21\sin^2 t \cos t} =2}\)
po trzykrotnym l'Hospitalu...
No i mile widziane kontrprzykłady jeżeli by nie było to prawdą...
Ostatnio zmieniony 26 maja 2020, o 09:53 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: również.
Powód: Poprawa wiadomości: również.
-
- Użytkownik
- Posty: 2282
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: granica i pochodna
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{f'(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{f''(x)}=0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}z(x)=\lim_{x\to 0}\left( x-\frac{f(x)}{f'(x)}\right)=0 }\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{f'(x)^2}=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{2f'(x)f''(x)}=\frac{1}{2f''(0)}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to o}z'(x)=\lim_{x\to 0}\left( 1-\frac{f'(x)^2-f''(x)f(x)}{f'(x)^2}\right)= \lim_{x\to 0}\left( 1-1+f''(x)\frac{f(x)}{f'(x)^2}\right)=f''(0)\frac{1}{2f''(0)}=\frac{1}{2} }\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{xf'(x)}{f(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)+xf''(x)}{f'(x)}=\lim_{x\to 0}\left( 1+f''(x)\frac{x}{f'(x)}\right)=1+f''(0)\frac{1}{f''(0)}=2 }\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{z(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\left( 1-\frac{f(x)}{xf'(x)}\right)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} }\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{f'(z(x))}{f'(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{f''(z(x))z'(x)}{f''(x)}=\frac{f''(0)\frac{1}{2}}{f''(0)}=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{f(z(x))}{f(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{f'(z(x))z'(x)}{f'(x)}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{x^3 f(z(x))}{f(x)\sin^3(z(x))}=\lim_{x\to 0}\frac{f(z(x))}{f(x)}\left( \frac{x}{z(x)}\right)^3\left( \frac{z(x)}{\sin(z(x))}\right)^3=\frac{1}{4}\cdot 2^3\cdot 1=2 }\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}z(x)=\lim_{x\to 0}\left( x-\frac{f(x)}{f'(x)}\right)=0 }\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{f'(x)^2}=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{2f'(x)f''(x)}=\frac{1}{2f''(0)}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to o}z'(x)=\lim_{x\to 0}\left( 1-\frac{f'(x)^2-f''(x)f(x)}{f'(x)^2}\right)= \lim_{x\to 0}\left( 1-1+f''(x)\frac{f(x)}{f'(x)^2}\right)=f''(0)\frac{1}{2f''(0)}=\frac{1}{2} }\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{xf'(x)}{f(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)+xf''(x)}{f'(x)}=\lim_{x\to 0}\left( 1+f''(x)\frac{x}{f'(x)}\right)=1+f''(0)\frac{1}{f''(0)}=2 }\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{z(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\left( 1-\frac{f(x)}{xf'(x)}\right)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} }\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{f'(z(x))}{f'(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{f''(z(x))z'(x)}{f''(x)}=\frac{f''(0)\frac{1}{2}}{f''(0)}=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{f(z(x))}{f(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{f'(z(x))z'(x)}{f'(x)}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{x^3 f(z(x))}{f(x)\sin^3(z(x))}=\lim_{x\to 0}\frac{f(z(x))}{f(x)}\left( \frac{x}{z(x)}\right)^3\left( \frac{z(x)}{\sin(z(x))}\right)^3=\frac{1}{4}\cdot 2^3\cdot 1=2 }\)
Ostatnio zmieniony 26 maja 2020, o 15:44 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.