granica i pochodna

[ann_u]

Wiemy ze funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest taka że \(\displaystyle{ f''(x)>0, f(0)=f'(0)=0.}\) Niech \(\displaystyle{ z=x-\frac{f(x)}{f'(x)}}\). Wyznacz granicę
\(\displaystyle{ \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x^3\cdot f(z)}{f(x)\cdot\sin^3z} .}\)

[arek1357]

Jeżeli to zadanie ma być prawdziwe dla każdej funkcji będzie prawdziwe również dla :

\(\displaystyle{ f(x)=x^2}\)

Funkcja ta spełnia warunki zadania co łatwo sprawdzić:

po podstawieniu otrzymamy granicę:

\(\displaystyle{ \frac{1}{4} \lim_{x\to 0} \frac{x^3}{\sin^3( \frac{1}{2}x) } , \frac{1}{2}x = t}\)

mamy:

\(\displaystyle{ 2 \lim_{t \to 0} \frac{t^3}{\sin^3 t} =2 \lim_{t \to 0} \frac{6}{6\cos^3 t-21\sin^2 t \cos t} =2}\)

po trzykrotnym l'Hospitalu...

No i mile widziane kontrprzykłady jeżeli by nie było to prawdą...

[matmatmm]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{f'(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{f''(x)}=0}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}z(x)=\lim_{x\to 0}\left( x-\frac{f(x)}{f'(x)}\right)=0 }\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{f'(x)^2}=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{2f'(x)f''(x)}=\frac{1}{2f''(0)}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to o}z'(x)=\lim_{x\to 0}\left( 1-\frac{f'(x)^2-f''(x)f(x)}{f'(x)^2}\right)= \lim_{x\to 0}\left( 1-1+f''(x)\frac{f(x)}{f'(x)^2}\right)=f''(0)\frac{1}{2f''(0)}=\frac{1}{2} }\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{xf'(x)}{f(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)+xf''(x)}{f'(x)}=\lim_{x\to 0}\left( 1+f''(x)\frac{x}{f'(x)}\right)=1+f''(0)\frac{1}{f''(0)}=2 }\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{z(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\left( 1-\frac{f(x)}{xf'(x)}\right)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} }\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{f'(z(x))}{f'(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{f''(z(x))z'(x)}{f''(x)}=\frac{f''(0)\frac{1}{2}}{f''(0)}=\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{f(z(x))}{f(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{f'(z(x))z'(x)}{f'(x)}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{x^3 f(z(x))}{f(x)\sin^3(z(x))}=\lim_{x\to 0}\frac{f(z(x))}{f(x)}\left( \frac{x}{z(x)}\right)^3\left( \frac{z(x)}{\sin(z(x))}\right)^3=\frac{1}{4}\cdot 2^3\cdot 1=2 }\)