Granica funkcji

[shreder221]

Dzień dobry. Mógłbym dostać jakąś wskazówkę jak zabrać się za liczenie
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \pm \infty } [ x + \ln(x^{2}+1)]}\)?

[JHN]

Zacząłbym

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \pm \infty } [ x + \ln(x^{2}+1)]= \lim_{ x\to \pm \infty } [ x\ln e + \ln(x^{2}+1)]= \lim_{ x\to \pm \infty } \ln\frac{x^{2}+1}{e^{-x}}}\)

i dalej, pomocniczo, dwukrotna hospitalizacja funkcji spod logarytmu...

Pozdrawiam

[a4karo]

Zacząłbym

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \pm \infty } [ x + \ln(x^{2}+1)]= \lim_{ x\to \pm \infty } [ x\ln e + \ln(x^{2}+1)]= \lim_{ x\to \pm \infty } \ln\frac{x^{2}+1}{e^{-x}}}\)

i dalej, pomocniczo, dwukrotna hospitalizacja funkcji spod logarytmu...

Pozdrawiam

Cóż za paskudna jothaenizacja nazwiska de l'Hospitala. Przecz z czymś takim i regułami szpitalnymi.

A stosować tę regułę wolno tylko wtedy, gdy wolno, a nie zawsze.


Wsk: \(\ln |x|<|x|^{1/4}\) dla dużych \(x\)

[JHN]

Cóż za paskudna jothaenizacja nazwiska de l'Hospitala. Przecz z czymś takim i regułami szpitalnymi.

Też jej nie lubię, stąd nomenklatura... Ale skuteczna dla statystycznego studenta!

A stosować tę regułę wolno tylko wtedy, gdy wolno, a nie zawsze.

Granica dla \(\displaystyle{ x\to +\infty }\) jest oczywista, a dla \(\displaystyle{ x\to -\infty }\) - MOŻNA!

Pozdrawiam
PS. O podanym przez Ciebie szacowaniu po prostu nie pamiętałem...

[shreder221]

A stosować tę regułę wolno tylko wtedy, gdy wolno, a nie zawsze.
Wsk: \(\ln |x|<|x|^{1/4}\) dla dużych \(x\)

Tego szacowania nie mieliśmy na zajęciach ;(

Zacząłbym

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \pm \infty } [ x + \ln(x^{2}+1)]= \lim_{ x\to \pm \infty } [ x\ln e + \ln(x^{2}+1)]= \lim_{ x\to \pm \infty } \ln\frac{x^{2}+1}{e^{-x}}}\)

i dalej, pomocniczo, dwukrotna hospitalizacja funkcji spod logarytmu...

Pozdrawiam

Czym się różni ten przypadek od \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \pm \infty } [ \frac{x + \ln(x^{2}+1}{x} )]}\) Bo wtedy proponowałem to i rzekomo nie można.

[Jan Kraszewski]

Tego szacowania nie mieliśmy na zajęciach ;(

Jak i wielu innych. Czasem trzeba we własnym zakresie zdobyć potrzebne narzędzia...

JK

[a4karo]

A stosować tę regułę wolno tylko wtedy, gdy wolno, a nie zawsze.
Wsk: \(\ln |x|<|x|^{1/4}\) dla dużych \(x\)

Tego szacowania nie mieliśmy na zajęciach ;(

Chyba mieliście, tyko zupełnie tego nie zauważyłeś. Na pewno pokazywaliście, że \(\lim_{x\to\infty}\frac{x}{\ln x}=\infty\). Dla dowolnego \(a>0\)
wyrażenie \(x^a\) dąży do nieskończoności wraz z iksem. A zatem
$$\infty=\lim_{x\to\infty}\frac{x^a}{\ln x^a}=\frac{1}{a}\lim_{x\to\infty}\frac{x^a}{\ln x},$$
co oznacza, że \(x^a\) dąży do nieskończoności szybciej niż logarytm, co pociąga nierówność \(\ln x<x^a\)