Zbieżność jednostajna vs punktowa
-
- Użytkownik
- Posty: 490
- Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 261 razy
- Pomógł: 7 razy
Zbieżność jednostajna vs punktowa
Witam,
mam problem z zrozumieniem różnicy pomiędzy tymi dwoma definicjami. Rozumiem iż w przypadku zbieżności jednostajnej staramy się uniezależnić od zmiennej x ale nie wynika to dla mnie z definicji:
Zbieżność jendostajna: Niech \(\displaystyle{ f_n}\) bedzie ciagiem wartości funkcji zdefiniowanych na zbiorze \(\displaystyle{ A \subseteq \RR}\). Nastepnie \(\displaystyle{ f_n}\) jest zbieżny jednostajnie na zbiorze \(\displaystyle{ A}\) do funkcji granicznej \(\displaystyle{ f}\) zdefiniowanej na \(\displaystyle{ A}\) jeśli
dla każdego \(\displaystyle{ \epsilon > 0}\) istnieje takie \(\displaystyle{ N \in \NN}\), że \(\displaystyle{ \left| f_n(x) - f(x) \right| < \epsilon }\) kiedy \(\displaystyle{ n \ge N }\) oraz \(\displaystyle{ x \in A}\).
Zbieżność punktowa: Niech \(\displaystyle{ f_n}\) bedzie ciagiem wartości funkcji zdefiniowanych na zbiorze \(\displaystyle{ A \subseteq \RR}\). Nastepnie \(\displaystyle{ f_n}\) jest zbieżny punktowo na zbiorze \(\displaystyle{ A}\) do granicy \(\displaystyle{ f}\) zdefiniowanej na \(\displaystyle{ A}\) jeśli
dla każdego \(\displaystyle{ \epsilon > 0}\) oraz \(\displaystyle{ x \in A}\) istnieje takie \(\displaystyle{ N \in \NN}\), że \(\displaystyle{ \left| f_n(x) - f(x) \right| < \epsilon }\) kiedy \(\displaystyle{ n \ge N }\).
Dla mnie obie definicje mowia dokladnie to samo. Różnica polegająca na tym, że \(\displaystyle{ x \in A}\) jest w różnych miejscach nie wydaje mi się mieć jakiekolwiek znaczenie, bo przecież w obu definicjach x bedzie należało do zbioru A tak czy inaczej.
Będę bardzo wdzięczny jesli ktoś zdoła mi to wytłumaczyć.
mam problem z zrozumieniem różnicy pomiędzy tymi dwoma definicjami. Rozumiem iż w przypadku zbieżności jednostajnej staramy się uniezależnić od zmiennej x ale nie wynika to dla mnie z definicji:
Zbieżność jendostajna: Niech \(\displaystyle{ f_n}\) bedzie ciagiem wartości funkcji zdefiniowanych na zbiorze \(\displaystyle{ A \subseteq \RR}\). Nastepnie \(\displaystyle{ f_n}\) jest zbieżny jednostajnie na zbiorze \(\displaystyle{ A}\) do funkcji granicznej \(\displaystyle{ f}\) zdefiniowanej na \(\displaystyle{ A}\) jeśli
dla każdego \(\displaystyle{ \epsilon > 0}\) istnieje takie \(\displaystyle{ N \in \NN}\), że \(\displaystyle{ \left| f_n(x) - f(x) \right| < \epsilon }\) kiedy \(\displaystyle{ n \ge N }\) oraz \(\displaystyle{ x \in A}\).
Zbieżność punktowa: Niech \(\displaystyle{ f_n}\) bedzie ciagiem wartości funkcji zdefiniowanych na zbiorze \(\displaystyle{ A \subseteq \RR}\). Nastepnie \(\displaystyle{ f_n}\) jest zbieżny punktowo na zbiorze \(\displaystyle{ A}\) do granicy \(\displaystyle{ f}\) zdefiniowanej na \(\displaystyle{ A}\) jeśli
dla każdego \(\displaystyle{ \epsilon > 0}\) oraz \(\displaystyle{ x \in A}\) istnieje takie \(\displaystyle{ N \in \NN}\), że \(\displaystyle{ \left| f_n(x) - f(x) \right| < \epsilon }\) kiedy \(\displaystyle{ n \ge N }\).
Dla mnie obie definicje mowia dokladnie to samo. Różnica polegająca na tym, że \(\displaystyle{ x \in A}\) jest w różnych miejscach nie wydaje mi się mieć jakiekolwiek znaczenie, bo przecież w obu definicjach x bedzie należało do zbioru A tak czy inaczej.
Będę bardzo wdzięczny jesli ktoś zdoła mi to wytłumaczyć.
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Zbieżność jednostajna vs punktowa
Narysuj sobie cienką kiełbaskę wokół ł funkcji granicznej przy zbieżności jednostajnej wszystkie wykresy funkcji od pewnego miejsca muszą się zmieścić w tej kiełbasce. W przypadku zbieżności punktowej tak być nie musi
Przykłady znajdziesz w podręczniku
Przykłady znajdziesz w podręczniku
-
- Administrator
- Posty: 34125
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Zbieżność jednostajna vs punktowa
Gdybyś napisał te definicje bardziej formalnie, to zobaczyłbyś, że to jest różnica pomiędzy \(\displaystyle{ \exists\forall}\) a \(\displaystyle{ \forall\exists}\). A to bardzo poważna różnica. Oczywiście z praktycznego punktu widzenia wytłumaczenie a4karo jest lepsze, ale świadomość tej różnicy formalnej może być przydatna.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 490
- Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 261 razy
- Pomógł: 7 razy
Re: Zbieżność jednostajna vs punktowa
@a4karo, no i właśnie coś takiego mam, np. tutaj -> i teraz w obu definicjach jest \(\displaystyle{ x \in A}\). Tak więc na powyższym wykresie równie dobrze \(\displaystyle{ f_n}\) mogło by być poza tym paskiem stworzonym przez \(\displaystyle{ f+\epsilon}\)\(\displaystyle{ f- \epsilon}\)-> wystarczyło by dobrać odpowiednie \(\displaystyle{ x \in A}\)
@Jan Kraszewski, w polskich ksiazkach nie znajduje tej definicji, a mam "Analiza matematyczna, Krysicki, Wlodarski" oraz "Wyklady z Analizy Ryszard Rudnicki"
Tutaj definicje z angielsko jezycznej ksiazki na ktorych sie opieram ->
Kod: Zaznacz cały
https://i.paste.pics/9a4f7d4786e731669a06ddc4b1497cec.png
@Jan Kraszewski, w polskich ksiazkach nie znajduje tej definicji, a mam "Analiza matematyczna, Krysicki, Wlodarski" oraz "Wyklady z Analizy Ryszard Rudnicki"
Tutaj definicje z angielsko jezycznej ksiazki na ktorych sie opieram ->
Kod: Zaznacz cały
https://paste.pics/e703812c8399498436f16720858ed5fe
-
- Administrator
- Posty: 34125
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Zbieżność jednostajna vs punktowa
A wystarczy Wiki, masz tam definicje zapisane kwantyfikatorowo:
Zbieżność jednostajna:
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Zbie%C5%BCno%C5%9B%C4%87_jednostajna#Definicja
Zbieżność punktowa:
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Zbie%C5%BCno%C5%9B%C4%87_punktowa#Definicja
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 490
- Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 261 razy
- Pomógł: 7 razy
Re: Zbieżność jednostajna vs punktowa
Okay załapałem. Chodzi tutaj o logikę kwantyfikatorów a konkretnie koniunkcję "dla każdego n > N i x należącego do pewnego A" wtedy i tylko wtedy mamy zbieżność jednostajną. Zgadza się?
Zastanawiam się jeszcze nad tym dlaczego ten "pasek epsilonoway" opisany poprzez \(\displaystyle{ \rho_Y(f_n(x), f(x)) < \epsilon}\). Czym jest ta funkcja \(\displaystyle{ \rho_Y}\)?
Dziekuję
Zastanawiam się jeszcze nad tym dlaczego ten "pasek epsilonoway" opisany poprzez \(\displaystyle{ \rho_Y(f_n(x), f(x)) < \epsilon}\). Czym jest ta funkcja \(\displaystyle{ \rho_Y}\)?
Dziekuję
-
- Administrator
- Posty: 34125
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Zbieżność jednostajna vs punktowa
Zbieżność jednostajną masz wtedy, gdy istnieje jedno \(\displaystyle{ N}\) wspólne dla wszystkich \(\displaystyle{ x\in A}\). W zbieżności punktowej dla każdego \(\displaystyle{ x\in A}\) masz indywidualne \(\displaystyle{ N}\). Czyli albo
\(\displaystyle{ (\forall \epsilon>0)\red{(\exists N\in\NN)(\forall x\in A)}(\forall n>N)\left| f_n(x)-f(x)\right|<\epsilon}\) (jednostajna),
albo
\(\displaystyle{ (\forall \epsilon>0)\red{(\forall x\in A)(\exists N\in\NN)}(\forall n>N)\left| f_n(x)-f(x)\right|<\epsilon}\) (punktowa).
Bo to ogólna definicja w przestrzeni metrycznej. U ciebie \(\displaystyle{ \rho_Y(f_n(x), f(x)) =\left| f_n(x)-f(x)\right| }\).
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 490
- Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 261 razy
- Pomógł: 7 razy
Re: Zbieżność jednostajna vs punktowa
@Jan Kraszewski, bardzo dziekuję, teraz definicja jest dla mnie zrozumiała
Mam jeszcze pytanie co do zadania polegającego na sprawdzeniu czy \(\displaystyle{ f_n(x) = \frac{nx}{1 + nx^2} }\) jest zbieżne jednostajnie na przedziale \(\displaystyle{ (0, \infty )}\).
W pierwszym kroku wyznaczam więc granicę tego wyrażania przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty }\):
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{nx}{1 + nx^2} = \frac{1}{x} }\).
Następnie, żeby mówić o zbiezności jednostajnej potrzebujemy takiego \(\displaystyle{ \epsilon}\) dla każdego \(\displaystyle{ x}\), żeby było:
\(\displaystyle{ \left| f_n(x) - f(x)\right| < \epsilon }\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \left| \frac{nx}{1 + nx^2} - \frac{1}{x} \right| = \frac{1}{x+nx^3} < \epsilon }\)
I teraz trzy pytania:
1. Jak wyznaczyć \(\displaystyle{ N}\) ktore spełni zbieżnośc jednostajna \(\displaystyle{ \frac{1}{x+nx^3} < \epsilon}\)
2. Czy już na tym etapie nie moge powiedzieć, że zbieżności jednostajnej nie będzie, gdyż wyraźnie widać dependencję na \(\displaystyle{ x}\)?
3. Znalazlem podpowiedź, która mówi o tym, żeby zauważyć iż to wyrażnie róśnie bez końca gdy \(\displaystyle{ x \rightarrow 0}\). Ale jak to? Przecież nasz przedział to \(\displaystyle{ (0, \infty )}\) - wiec x bedzie stale rósł a nie dażył do 0. O co tutaj chodzi?
Mam jeszcze pytanie co do zadania polegającego na sprawdzeniu czy \(\displaystyle{ f_n(x) = \frac{nx}{1 + nx^2} }\) jest zbieżne jednostajnie na przedziale \(\displaystyle{ (0, \infty )}\).
W pierwszym kroku wyznaczam więc granicę tego wyrażania przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty }\):
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{nx}{1 + nx^2} = \frac{1}{x} }\).
Następnie, żeby mówić o zbiezności jednostajnej potrzebujemy takiego \(\displaystyle{ \epsilon}\) dla każdego \(\displaystyle{ x}\), żeby było:
\(\displaystyle{ \left| f_n(x) - f(x)\right| < \epsilon }\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \left| \frac{nx}{1 + nx^2} - \frac{1}{x} \right| = \frac{1}{x+nx^3} < \epsilon }\)
I teraz trzy pytania:
1. Jak wyznaczyć \(\displaystyle{ N}\) ktore spełni zbieżnośc jednostajna \(\displaystyle{ \frac{1}{x+nx^3} < \epsilon}\)
2. Czy już na tym etapie nie moge powiedzieć, że zbieżności jednostajnej nie będzie, gdyż wyraźnie widać dependencję na \(\displaystyle{ x}\)?
3. Znalazlem podpowiedź, która mówi o tym, żeby zauważyć iż to wyrażnie róśnie bez końca gdy \(\displaystyle{ x \rightarrow 0}\). Ale jak to? Przecież nasz przedział to \(\displaystyle{ (0, \infty )}\) - wiec x bedzie stale rósł a nie dażył do 0. O co tutaj chodzi?
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Zbieżność jednostajna vs punktowa
Czy "dependencja na x" to jakieś mocno pseudonaukowe określenie zależności od x???
Sprawdź do czego dąży to wyrażenie gdy \(x\) dąży do zera
Sprawdź do czego dąży to wyrażenie gdy \(x\) dąży do zera
-
- Użytkownik
- Posty: 490
- Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 261 razy
- Pomógł: 7 razy
Re: Zbieżność jednostajna vs punktowa
No nie wiem czy takie "pseudonaukowe ", z angielskiego słowo "dependant" oznacza zależność, więc tak, miałem tutaj na myśli zależności \(\displaystyle{ N }\) od \(\displaystyle{ x}\)
No oczywiście dokładnie to widzę iż całe wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{1}{x + nx^3} }\)bedzie dazylo do nieskonczonosci, gdy \(\displaystyle{ x \rightarrow 0}\). Natomiast dziwi mnie dlaczego jest tutaj wgl mowa o tym, że X może dążyć do zera skoro przedział jest zdefiniowany jako \(\displaystyle{ (0, \infty )}\) tak wiec x moge tylko rosnąć zgadza się?
Co z moimi pytaniami 1,2? Jest ktoś w stanie odpowiedzieć?
-
- Administrator
- Posty: 34125
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Zbieżność jednostajna vs punktowa
No ale język polski nie jest zbiorem kalek językowych z języka angielskiego, a "dependancja" to jednak - excuse le mot - ordynarna kalka.
Niby dlaczego? Co nie pozawala Ci dążyć z \(\displaystyle{ x}\)-em do zera?[/quote]
Jeżeli chcesz pokazać brak zbieżności jednostajnej, to odwołaj się do definicji, a nie do niesprecyzowanej "zależności od \(\displaystyle{ x}\)". W tym celu zastanów się, co dokładnie z definicji oznacza, że ciąg nie jest jednostajnie zbieżny.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 490
- Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 261 razy
- Pomógł: 7 razy
Re: Zbieżność jednostajna vs punktowa
Jan Kraszewski pisze: ↑11 gru 2019, o 18:27Niby dlaczego? Co nie pozawala Ci dążyć z \(\displaystyle{ x}\)-em do zera?
No w zasadzie nic i mogę wybrać jakikolwiek X z przedziału \(\displaystyle{ (0, \infty )}\) zaczynjac np. od 100 i schodzac do 0 z krokiem 0.00001. Nie wiem dlaczego zasugerowałem się, że X powinny rosnąć...
No ale po pierwsze to wydaje mi się, że jest jeszcze za wcześnie żeby odwołać się do definicji gdyż ja z moich obliczeń wiem tylko, że \(\displaystyle{ \frac{1}{x+nx^3} < \epsilon}\) I jak tutaj odołać się do definicji skoro widać, że pasek epsilonowy zależy i od N i od X. A z definicji ma zależeć tylko od N (które zagwarantuje że bedziemy w danym obszarze dla każdego X). Ale przekształcając nieco to wyrażenie na \(\displaystyle{ \frac{1}{x+nx^3} < \epsilon \Rightarrow n > \frac{1- \epsilon x}{\epsilon x^3} }\) widać lepiej, że nie uda się znaleźć pojedynczego N które spełni te zależność, a więc ciag nie jest zbieżny jednostajnie.Jan Kraszewski pisze: ↑11 gru 2019, o 18:27 Jeżeli chcesz pokazać brak zbieżności jednostajnej, to odwołaj się do definicji, a nie do niesprecyzowanej "zależności od
x". W tym celu zastanów się, co dokładnie z definicji oznacza, że ciąg nie jest jednostajnie zbieżny.
jest ok to rozumowanie?
PS: Zupełnie hipotetycznie, gdyby wyszło mi iż \(\displaystyle{ N > x}\) to czy dobrze rozumiem, że wtedy też nie było by zbieżności jednostajnej bo zawsze mozna by znaleźć X wiekszego od N?
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Zbieżność jednostajna vs punktowa
Gdyby (hipotetycznie) różnica była równa \(\frac{1}{n+x+n x^3}\) to też by zależała od \(x\), ale jednak znalazło by się uniwersalne \(N\).
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Re: Zbieżność jednostajna vs punktowa
KIedy badasz zbieżność jednostajną, to najczęściej posługiwanie się definicją jest niewygodne. Proponuję skorzystać z równoważnego warunku, że \(\displaystyle{ f_n}\) zbiega jednostajnie do \(\displaystyle{ f}\) na zbiorze \(\displaystyle{ A}\), wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sup_{x \in A} \left|f_n(x)-f(x)\right|=0}\). Możesz spróbować pokazać równoważność definicji i tego faktu, gdyż nie jest to trudne. Z reguły gdy nie ma zbieżności jednostajnej łatwo pokazać, że taki ciąg nie zbiega do zera.