Zbieżność jednostajna vs punktowa

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 490
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 261 razy
Pomógł: 7 razy

Zbieżność jednostajna vs punktowa

Post autor: Mondo »

Witam,

mam problem z zrozumieniem różnicy pomiędzy tymi dwoma definicjami. Rozumiem iż w przypadku zbieżności jednostajnej staramy się uniezależnić od zmiennej x ale nie wynika to dla mnie z definicji:

Zbieżność jendostajna: Niech \(\displaystyle{ f_n}\) bedzie ciagiem wartości funkcji zdefiniowanych na zbiorze \(\displaystyle{ A \subseteq \RR}\). Nastepnie \(\displaystyle{ f_n}\) jest zbieżny jednostajnie na zbiorze \(\displaystyle{ A}\) do funkcji granicznej \(\displaystyle{ f}\) zdefiniowanej na \(\displaystyle{ A}\) jeśli
dla każdego \(\displaystyle{ \epsilon > 0}\) istnieje takie \(\displaystyle{ N \in \NN}\), że \(\displaystyle{ \left| f_n(x) - f(x) \right| < \epsilon }\) kiedy \(\displaystyle{ n \ge N }\) oraz \(\displaystyle{ x \in A}\).

Zbieżność punktowa: Niech \(\displaystyle{ f_n}\) bedzie ciagiem wartości funkcji zdefiniowanych na zbiorze \(\displaystyle{ A \subseteq \RR}\). Nastepnie \(\displaystyle{ f_n}\) jest zbieżny punktowo na zbiorze \(\displaystyle{ A}\) do granicy \(\displaystyle{ f}\) zdefiniowanej na \(\displaystyle{ A}\) jeśli
dla każdego \(\displaystyle{ \epsilon > 0}\) oraz \(\displaystyle{ x \in A}\) istnieje takie \(\displaystyle{ N \in \NN}\), że \(\displaystyle{ \left| f_n(x) - f(x) \right| < \epsilon }\) kiedy \(\displaystyle{ n \ge N }\).

Dla mnie obie definicje mowia dokladnie to samo. Różnica polegająca na tym, że \(\displaystyle{ x \in A}\) jest w różnych miejscach nie wydaje mi się mieć jakiekolwiek znaczenie, bo przecież w obu definicjach x bedzie należało do zbioru A tak czy inaczej.

Będę bardzo wdzięczny jesli ktoś zdoła mi to wytłumaczyć.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Zbieżność jednostajna vs punktowa

Post autor: a4karo »

Narysuj sobie cienką kiełbaskę wokół ł funkcji granicznej przy zbieżności jednostajnej wszystkie wykresy funkcji od pewnego miejsca muszą się zmieścić w tej kiełbasce. W przypadku zbieżności punktowej tak być nie musi
Przykłady znajdziesz w podręczniku
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Zbieżność jednostajna vs punktowa

Post autor: Jan Kraszewski »

Mondo pisze: 10 gru 2019, o 19:03Dla mnie obie definicje mowia dokladnie to samo. Różnica polegająca na tym, że \(\displaystyle{ x \in A}\) jest w różnych miejscach nie wydaje mi się mieć jakiekolwiek znaczenie, bo przecież w obu definicjach x bedzie należało do zbioru A tak czy inaczej.
Gdybyś napisał te definicje bardziej formalnie, to zobaczyłbyś, że to jest różnica pomiędzy \(\displaystyle{ \exists\forall}\) a \(\displaystyle{ \forall\exists}\). A to bardzo poważna różnica. Oczywiście z praktycznego punktu widzenia wytłumaczenie a4karo jest lepsze, ale świadomość tej różnicy formalnej może być przydatna.

JK
Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 490
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 261 razy
Pomógł: 7 razy

Re: Zbieżność jednostajna vs punktowa

Post autor: Mondo »

@a4karo, no i właśnie coś takiego mam, np. tutaj ->

Kod: Zaznacz cały

https://i.paste.pics/9a4f7d4786e731669a06ddc4b1497cec.png
i teraz w obu definicjach jest \(\displaystyle{ x \in A}\). Tak więc na powyższym wykresie równie dobrze \(\displaystyle{ f_n}\) mogło by być poza tym paskiem stworzonym przez \(\displaystyle{ f+\epsilon}\)\(\displaystyle{ f- \epsilon}\)-> wystarczyło by dobrać odpowiednie \(\displaystyle{ x \in A}\)

@Jan Kraszewski, w polskich ksiazkach nie znajduje tej definicji, a mam "Analiza matematyczna, Krysicki, Wlodarski" oraz "Wyklady z Analizy Ryszard Rudnicki"

Tutaj definicje z angielsko jezycznej ksiazki na ktorych sie opieram ->

Kod: Zaznacz cały

https://paste.pics/e703812c8399498436f16720858ed5fe
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Zbieżność jednostajna vs punktowa

Post autor: Jan Kraszewski »

Mondo pisze: 10 gru 2019, o 23:25@Jan Kraszewski, w polskich ksiazkach nie znajduje tej definicji, a mam "Analiza matematyczna, Krysicki, Wlodarski" oraz "Wyklady z Analizy Ryszard Rudnicki"
A wystarczy Wiki, masz tam definicje zapisane kwantyfikatorowo:

Zbieżność jednostajna:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Zbie%C5%BCno%C5%9B%C4%87_jednostajna#Definicja


Zbieżność punktowa:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Zbie%C5%BCno%C5%9B%C4%87_punktowa#Definicja


JK
Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 490
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 261 razy
Pomógł: 7 razy

Re: Zbieżność jednostajna vs punktowa

Post autor: Mondo »

Okay załapałem. Chodzi tutaj o logikę kwantyfikatorów a konkretnie koniunkcję "dla każdego n > N i x należącego do pewnego A" wtedy i tylko wtedy mamy zbieżność jednostajną. Zgadza się?

Zastanawiam się jeszcze nad tym dlaczego ten "pasek epsilonoway" opisany poprzez \(\displaystyle{ \rho_Y(f_n(x), f(x)) < \epsilon}\). Czym jest ta funkcja \(\displaystyle{ \rho_Y}\)?

Dziekuję
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Zbieżność jednostajna vs punktowa

Post autor: a4karo »

odległość w przestrzeni \(Y\)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Zbieżność jednostajna vs punktowa

Post autor: Jan Kraszewski »

Mondo pisze: 11 gru 2019, o 00:35Okay załapałem. Chodzi tutaj o logikę kwantyfikatorów a konkretnie koniunkcję "dla każdego n > N i x należącego do pewnego A" wtedy i tylko wtedy mamy zbieżność jednostajną. Zgadza się?
Zbieżność jednostajną masz wtedy, gdy istnieje jedno \(\displaystyle{ N}\) wspólne dla wszystkich \(\displaystyle{ x\in A}\). W zbieżności punktowej dla każdego \(\displaystyle{ x\in A}\) masz indywidualne \(\displaystyle{ N}\). Czyli albo

\(\displaystyle{ (\forall \epsilon>0)\red{(\exists N\in\NN)(\forall x\in A)}(\forall n>N)\left| f_n(x)-f(x)\right|<\epsilon}\) (jednostajna),

albo

\(\displaystyle{ (\forall \epsilon>0)\red{(\forall x\in A)(\exists N\in\NN)}(\forall n>N)\left| f_n(x)-f(x)\right|<\epsilon}\) (punktowa).
Mondo pisze: 11 gru 2019, o 00:35Zastanawiam się jeszcze nad tym dlaczego ten "pasek epsilonoway" opisany poprzez \(\displaystyle{ \rho_Y(f_n(x), f(x)) < \epsilon}\). Czym jest ta funkcja \(\displaystyle{ \rho_Y}\)?
Bo to ogólna definicja w przestrzeni metrycznej. U ciebie \(\displaystyle{ \rho_Y(f_n(x), f(x)) =\left| f_n(x)-f(x)\right| }\).

JK
Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 490
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 261 razy
Pomógł: 7 razy

Re: Zbieżność jednostajna vs punktowa

Post autor: Mondo »

@Jan Kraszewski, bardzo dziekuję, teraz definicja jest dla mnie zrozumiała :)

Mam jeszcze pytanie co do zadania polegającego na sprawdzeniu czy \(\displaystyle{ f_n(x) = \frac{nx}{1 + nx^2} }\) jest zbieżne jednostajnie na przedziale \(\displaystyle{ (0, \infty )}\).

W pierwszym kroku wyznaczam więc granicę tego wyrażania przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty }\):
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{nx}{1 + nx^2} = \frac{1}{x} }\).
Następnie, żeby mówić o zbiezności jednostajnej potrzebujemy takiego \(\displaystyle{ \epsilon}\) dla każdego \(\displaystyle{ x}\), żeby było:
\(\displaystyle{ \left| f_n(x) - f(x)\right| < \epsilon }\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \left| \frac{nx}{1 + nx^2} - \frac{1}{x} \right| = \frac{1}{x+nx^3} < \epsilon }\)

I teraz trzy pytania:
1. Jak wyznaczyć \(\displaystyle{ N}\) ktore spełni zbieżnośc jednostajna \(\displaystyle{ \frac{1}{x+nx^3} < \epsilon}\)
2. Czy już na tym etapie nie moge powiedzieć, że zbieżności jednostajnej nie będzie, gdyż wyraźnie widać dependencję na \(\displaystyle{ x}\)?
3. Znalazlem podpowiedź, która mówi o tym, żeby zauważyć iż to wyrażnie róśnie bez końca gdy \(\displaystyle{ x \rightarrow 0}\). Ale jak to? Przecież nasz przedział to \(\displaystyle{ (0, \infty )}\) - wiec x bedzie stale rósł a nie dażył do 0. O co tutaj chodzi?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Zbieżność jednostajna vs punktowa

Post autor: a4karo »

Czy "dependencja na x" to jakieś mocno pseudonaukowe określenie zależności od x???
Sprawdź do czego dąży to wyrażenie gdy \(x\) dąży do zera
Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 490
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 261 razy
Pomógł: 7 razy

Re: Zbieżność jednostajna vs punktowa

Post autor: Mondo »

a4karo pisze: 11 gru 2019, o 12:12 Czy "dependencja na x" to jakieś mocno pseudonaukowe określenie zależności od x???
No nie wiem czy takie "pseudonaukowe ", z angielskiego słowo "dependant" oznacza zależność, więc tak, miałem tutaj na myśli zależności \(\displaystyle{ N }\) od \(\displaystyle{ x}\)
a4karo pisze: 11 gru 2019, o 12:12 Sprawdź do czego dąży to wyrażenie gdy \(x\) dąży do zera
No oczywiście dokładnie to widzę iż całe wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{1}{x + nx^3} }\)bedzie dazylo do nieskonczonosci, gdy \(\displaystyle{ x \rightarrow 0}\). Natomiast dziwi mnie dlaczego jest tutaj wgl mowa o tym, że X może dążyć do zera skoro przedział jest zdefiniowany jako \(\displaystyle{ (0, \infty )}\) tak wiec x moge tylko rosnąć zgadza się?

Co z moimi pytaniami 1,2? Jest ktoś w stanie odpowiedzieć? :)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Zbieżność jednostajna vs punktowa

Post autor: Jan Kraszewski »

Mondo pisze: 11 gru 2019, o 17:44No nie wiem czy takie "pseudonaukowe ", z angielskiego słowo "dependant" oznacza zależność, więc tak, miałem tutaj na myśli zależności \(\displaystyle{ N }\) od \(\displaystyle{ x}\)
No ale język polski nie jest zbiorem kalek językowych z języka angielskiego, a "dependancja" to jednak - excuse le mot - ordynarna kalka.
Mondo pisze: 11 gru 2019, o 17:44Natomiast dziwi mnie dlaczego jest tutaj wgl mowa o tym, że X może dążyć do zera skoro przedział jest zdefiniowany jako \(\displaystyle{ (0, \infty )}\) tak wiec x moge tylko rosnąć zgadza się?
Niby dlaczego? Co nie pozawala Ci dążyć z \(\displaystyle{ x}\)-em do zera?[/quote]
Mondo pisze: 11 gru 2019, o 11:282. Czy już na tym etapie nie moge powiedzieć, że zbieżności jednostajnej nie będzie, gdyż wyraźnie widać dependencję na \(\displaystyle{ x}\)?
Jeżeli chcesz pokazać brak zbieżności jednostajnej, to odwołaj się do definicji, a nie do niesprecyzowanej "zależności od \(\displaystyle{ x}\)". W tym celu zastanów się, co dokładnie z definicji oznacza, że ciąg nie jest jednostajnie zbieżny.

JK
Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 490
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 261 razy
Pomógł: 7 razy

Re: Zbieżność jednostajna vs punktowa

Post autor: Mondo »

Jan Kraszewski pisze: 11 gru 2019, o 18:27
Mondo pisze: 11 gru 2019, o 17:44Natomiast dziwi mnie dlaczego jest tutaj wgl mowa o tym, że X może dążyć do zera skoro przedział jest zdefiniowany jako \(\displaystyle{ (0, \infty )}\) tak wiec x moge tylko rosnąć zgadza się?
Niby dlaczego? Co nie pozawala Ci dążyć z \(\displaystyle{ x}\)-em do zera?

No w zasadzie nic i mogę wybrać jakikolwiek X z przedziału \(\displaystyle{ (0, \infty )}\) zaczynjac np. od 100 i schodzac do 0 z krokiem 0.00001. Nie wiem dlaczego zasugerowałem się, że X powinny rosnąć...
Jan Kraszewski pisze: 11 gru 2019, o 18:27 Jeżeli chcesz pokazać brak zbieżności jednostajnej, to odwołaj się do definicji, a nie do niesprecyzowanej "zależności od
x". W tym celu zastanów się, co dokładnie z definicji oznacza, że ciąg nie jest jednostajnie zbieżny.
No ale po pierwsze to wydaje mi się, że jest jeszcze za wcześnie żeby odwołać się do definicji gdyż ja z moich obliczeń wiem tylko, że \(\displaystyle{ \frac{1}{x+nx^3} < \epsilon}\) I jak tutaj odołać się do definicji skoro widać, że pasek epsilonowy zależy i od N i od X. A z definicji ma zależeć tylko od N (które zagwarantuje że bedziemy w danym obszarze dla każdego X). Ale przekształcając nieco to wyrażenie na \(\displaystyle{ \frac{1}{x+nx^3} < \epsilon \Rightarrow n > \frac{1- \epsilon x}{\epsilon x^3} }\) widać lepiej, że nie uda się znaleźć pojedynczego N które spełni te zależność, a więc ciag nie jest zbieżny jednostajnie.

jest ok to rozumowanie?


PS: Zupełnie hipotetycznie, gdyby wyszło mi iż \(\displaystyle{ N > x}\) to czy dobrze rozumiem, że wtedy też nie było by zbieżności jednostajnej bo zawsze mozna by znaleźć X wiekszego od N?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Zbieżność jednostajna vs punktowa

Post autor: a4karo »

Gdyby (hipotetycznie) różnica była równa \(\frac{1}{n+x+n x^3}\) to też by zależała od \(x\), ale jednak znalazło by się uniwersalne \(N\).
Awatar użytkownika
MrCommando
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 554
Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock/MiNI PW
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 107 razy

Re: Zbieżność jednostajna vs punktowa

Post autor: MrCommando »

KIedy badasz zbieżność jednostajną, to najczęściej posługiwanie się definicją jest niewygodne. Proponuję skorzystać z równoważnego warunku, że \(\displaystyle{ f_n}\) zbiega jednostajnie do \(\displaystyle{ f}\) na zbiorze \(\displaystyle{ A}\), wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sup_{x \in A} \left|f_n(x)-f(x)\right|=0}\). Możesz spróbować pokazać równoważność definicji i tego faktu, gdyż nie jest to trudne. Z reguły gdy nie ma zbieżności jednostajnej łatwo pokazać, że taki ciąg nie zbiega do zera.
ODPOWIEDZ