Udowwodnić: Jeżeli ciągła jednostajnie to spełnia nierówność.

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
Awatar użytkownika
Zaratustra
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 182
Rejestracja: 24 lut 2015, o 16:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 6 razy

Udowwodnić: Jeżeli ciągła jednostajnie to spełnia nierówność.

Post autor: Zaratustra »

Udowodnić, że jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}}\) jest jednostajnie ciągła na \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), to istnieją takie liczby \(\displaystyle{ a\geq 0}\) oraz \(\displaystyle{ b\geq 0}\), że \(\displaystyle{ |f(x)|\leq a|x|+b,\; x\in\mathbb{R}}\).

Przyznam, że nie miałem wartego przedstawienia pomysłu :/ Próbowałem w pierwszej chwili podstawiać coś pod \(\displaystyle{ \varepsilon}\)-y i \(\displaystyle{ \delta}\)-y licząc, że potem coś oszacuję z góry z dołu i wyjdzie... No i nic. Żadne twierdzenie mi też nie świta w głowie, które by pomogło.

Jakoś inaczej do tego podejść, czy tylko za słaby jestem, żeby właściwie po-podstawiać coś w definicji dla odpowiednio od siebie zależnych symboli i oszacować?? :?
Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 340
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 60 razy

Re: Udowwodnić: Jeżeli ciągła jednostajnie to spełnia nierówność.

Post autor: Gosda »

Wskazówka: jednostajna ciągłość mówi, że każdemu epsilonowi odpowiada taka delta, że

\(\displaystyle{ |x - y| \le \delta \implies |f(x) - f(y)| \le \epsilon}\)

W szczególności oznacza to, że

\(\displaystyle{ |x - y| \le \delta \implies \frac{|f(x) - f(y)|}{|x-y|} \le \frac \epsilon \delta}\)

Czy potrafisz z tej nierówności dojść do wniosku, że pochodna naszej funkcji jest ograniczona?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Udowwodnić: Jeżeli ciągła jednostajnie to spełnia nierówność.

Post autor: Dasio11 »

Gosda pisze: 1 gru 2019, o 19:24Czy potrafisz z tej nierówności dojść do wniosku, że pochodna naszej funkcji jest ograniczona?
Przecież w zadaniu nie ma założenia różniczkowalności.
Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 340
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 60 razy

Re: Udowwodnić: Jeżeli ciągła jednostajnie to spełnia nierówność.

Post autor: Gosda »

Racja, i nierówności nie można tak naiwnie dzielić stronami. Proponuję trochę inne podejście.

Lemat 1. Ustalmy liczbę \(\displaystyle{ t > 0}\). Jeśli \(\displaystyle{ f \colon [t, \infty) \to \RR }\) jest jednostajnie ciągła, to istnieje liczba \(\displaystyle{ b > 0}\) taka, że \(\displaystyle{ |f(x)| \le bx}\).

Lemat 2. Ustalmy liczbę \(\displaystyle{ t > 0}\). Jeśli funkcja \(\displaystyle{ f \colon [-t, t] \to \RR}\) jest jednostajnie ciągła, to jest też ograniczona: istnieje liczba \(\displaystyle{ a > 0}\) taka, że \(\displaystyle{ |f(x)| \le a}\).

Mam nadzieję, że stąd widać już, jak wynika teza.

Dowód lematu 1. W definicji ciągłości jednostajnej połóżmy \(\displaystyle{ \varepsilon = 1}\), wiemy, że istnieje wtedy odpowiednia \(\displaystyle{ \delta}\) (*). Ustalmy \(\displaystyle{ x \ge t}\) oraz wybierzmy najmniejsze \(\displaystyle{ n}\) takie, że \(\displaystyle{ x < (n+1)\delta}\). Teraz

\(\displaystyle{ f(x) - f(t) = f(x) - f(t+n\delta) + \sum_{k=1}^n [f(t + k \delta) - f(t + k\delta - \delta)] }\)

(zwykła suma teleskopowa)

\(\displaystyle{ |f(x)| \le |f(x) - f(t+n\delta)| + \sum_{k=1}^n |f(t + k \delta) - f(t + k\delta - \delta)| + |f(t)|}\)

(nierówność trójkąta)

\(\displaystyle{ |f(x)| \le n + 1 + |f(t)|}\)

(to jest po prostu skorzystanie z (*)). Teraz przypominamy sobie definicję liczby \(\displaystyle{ n}\), i szacujemy:

\(\displaystyle{ \frac{|f(x)|}{x} \le \frac{n + 1 + |f(t)|}{n\delta}}\)

Ciąg występujący po prawej stronie jest zbieżny (przy \(\displaystyle{ n \to \infty}\)), zatem ograniczony przez pewną liczbę \(\displaystyle{ b}\).
Awatar użytkownika
Zaratustra
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 182
Rejestracja: 24 lut 2015, o 16:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 6 razy

Re: Udowwodnić: Jeżeli ciągła jednostajnie to spełnia nierówność.

Post autor: Zaratustra »

Dzięki wielkie. Niestety to ta kategoria, że rozwiązanie rozumiem, nawet widzę, że można na to wpaść... ale ja bym po prostu nie wpadł :? No ale kiedyś bym się nie zabrał w ogóle, więc... :mrgreen:
ODPOWIEDZ