Udowodnić, że jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}}\) jest jednostajnie ciągła na \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), to istnieją takie liczby \(\displaystyle{ a\geq 0}\) oraz \(\displaystyle{ b\geq 0}\), że \(\displaystyle{ |f(x)|\leq a|x|+b,\; x\in\mathbb{R}}\).
Przyznam, że nie miałem wartego przedstawienia pomysłu :/ Próbowałem w pierwszej chwili podstawiać coś pod \(\displaystyle{ \varepsilon}\)-y i \(\displaystyle{ \delta}\)-y licząc, że potem coś oszacuję z góry z dołu i wyjdzie... No i nic. Żadne twierdzenie mi też nie świta w głowie, które by pomogło.
Jakoś inaczej do tego podejść, czy tylko za słaby jestem, żeby właściwie po-podstawiać coś w definicji dla odpowiednio od siebie zależnych symboli i oszacować??
Udowwodnić: Jeżeli ciągła jednostajnie to spełnia nierówność.
- Zaratustra
- Użytkownik
- Posty: 182
- Rejestracja: 24 lut 2015, o 16:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 6 razy
- Gosda
- Użytkownik
- Posty: 340
- Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Oulu
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 60 razy
Re: Udowwodnić: Jeżeli ciągła jednostajnie to spełnia nierówność.
Wskazówka: jednostajna ciągłość mówi, że każdemu epsilonowi odpowiada taka delta, że
\(\displaystyle{ |x - y| \le \delta \implies |f(x) - f(y)| \le \epsilon}\)
W szczególności oznacza to, że
\(\displaystyle{ |x - y| \le \delta \implies \frac{|f(x) - f(y)|}{|x-y|} \le \frac \epsilon \delta}\)
Czy potrafisz z tej nierówności dojść do wniosku, że pochodna naszej funkcji jest ograniczona?
\(\displaystyle{ |x - y| \le \delta \implies |f(x) - f(y)| \le \epsilon}\)
W szczególności oznacza to, że
\(\displaystyle{ |x - y| \le \delta \implies \frac{|f(x) - f(y)|}{|x-y|} \le \frac \epsilon \delta}\)
Czy potrafisz z tej nierówności dojść do wniosku, że pochodna naszej funkcji jest ograniczona?
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10211
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2359 razy
Re: Udowwodnić: Jeżeli ciągła jednostajnie to spełnia nierówność.
Przecież w zadaniu nie ma założenia różniczkowalności.
- Gosda
- Użytkownik
- Posty: 340
- Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Oulu
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 60 razy
Re: Udowwodnić: Jeżeli ciągła jednostajnie to spełnia nierówność.
Racja, i nierówności nie można tak naiwnie dzielić stronami. Proponuję trochę inne podejście.
Lemat 1. Ustalmy liczbę \(\displaystyle{ t > 0}\). Jeśli \(\displaystyle{ f \colon [t, \infty) \to \RR }\) jest jednostajnie ciągła, to istnieje liczba \(\displaystyle{ b > 0}\) taka, że \(\displaystyle{ |f(x)| \le bx}\).
Lemat 2. Ustalmy liczbę \(\displaystyle{ t > 0}\). Jeśli funkcja \(\displaystyle{ f \colon [-t, t] \to \RR}\) jest jednostajnie ciągła, to jest też ograniczona: istnieje liczba \(\displaystyle{ a > 0}\) taka, że \(\displaystyle{ |f(x)| \le a}\).
Mam nadzieję, że stąd widać już, jak wynika teza.
Dowód lematu 1. W definicji ciągłości jednostajnej połóżmy \(\displaystyle{ \varepsilon = 1}\), wiemy, że istnieje wtedy odpowiednia \(\displaystyle{ \delta}\) (*). Ustalmy \(\displaystyle{ x \ge t}\) oraz wybierzmy najmniejsze \(\displaystyle{ n}\) takie, że \(\displaystyle{ x < (n+1)\delta}\). Teraz
\(\displaystyle{ f(x) - f(t) = f(x) - f(t+n\delta) + \sum_{k=1}^n [f(t + k \delta) - f(t + k\delta - \delta)] }\)
(zwykła suma teleskopowa)
\(\displaystyle{ |f(x)| \le |f(x) - f(t+n\delta)| + \sum_{k=1}^n |f(t + k \delta) - f(t + k\delta - \delta)| + |f(t)|}\)
(nierówność trójkąta)
\(\displaystyle{ |f(x)| \le n + 1 + |f(t)|}\)
(to jest po prostu skorzystanie z (*)). Teraz przypominamy sobie definicję liczby \(\displaystyle{ n}\), i szacujemy:
\(\displaystyle{ \frac{|f(x)|}{x} \le \frac{n + 1 + |f(t)|}{n\delta}}\)
Ciąg występujący po prawej stronie jest zbieżny (przy \(\displaystyle{ n \to \infty}\)), zatem ograniczony przez pewną liczbę \(\displaystyle{ b}\).
Lemat 1. Ustalmy liczbę \(\displaystyle{ t > 0}\). Jeśli \(\displaystyle{ f \colon [t, \infty) \to \RR }\) jest jednostajnie ciągła, to istnieje liczba \(\displaystyle{ b > 0}\) taka, że \(\displaystyle{ |f(x)| \le bx}\).
Lemat 2. Ustalmy liczbę \(\displaystyle{ t > 0}\). Jeśli funkcja \(\displaystyle{ f \colon [-t, t] \to \RR}\) jest jednostajnie ciągła, to jest też ograniczona: istnieje liczba \(\displaystyle{ a > 0}\) taka, że \(\displaystyle{ |f(x)| \le a}\).
Mam nadzieję, że stąd widać już, jak wynika teza.
Dowód lematu 1. W definicji ciągłości jednostajnej połóżmy \(\displaystyle{ \varepsilon = 1}\), wiemy, że istnieje wtedy odpowiednia \(\displaystyle{ \delta}\) (*). Ustalmy \(\displaystyle{ x \ge t}\) oraz wybierzmy najmniejsze \(\displaystyle{ n}\) takie, że \(\displaystyle{ x < (n+1)\delta}\). Teraz
\(\displaystyle{ f(x) - f(t) = f(x) - f(t+n\delta) + \sum_{k=1}^n [f(t + k \delta) - f(t + k\delta - \delta)] }\)
(zwykła suma teleskopowa)
\(\displaystyle{ |f(x)| \le |f(x) - f(t+n\delta)| + \sum_{k=1}^n |f(t + k \delta) - f(t + k\delta - \delta)| + |f(t)|}\)
(nierówność trójkąta)
\(\displaystyle{ |f(x)| \le n + 1 + |f(t)|}\)
(to jest po prostu skorzystanie z (*)). Teraz przypominamy sobie definicję liczby \(\displaystyle{ n}\), i szacujemy:
\(\displaystyle{ \frac{|f(x)|}{x} \le \frac{n + 1 + |f(t)|}{n\delta}}\)
Ciąg występujący po prawej stronie jest zbieżny (przy \(\displaystyle{ n \to \infty}\)), zatem ograniczony przez pewną liczbę \(\displaystyle{ b}\).
- Zaratustra
- Użytkownik
- Posty: 182
- Rejestracja: 24 lut 2015, o 16:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 6 razy
Re: Udowwodnić: Jeżeli ciągła jednostajnie to spełnia nierówność.
Dzięki wielkie. Niestety to ta kategoria, że rozwiązanie rozumiem, nawet widzę, że można na to wpaść... ale ja bym po prostu nie wpadł No ale kiedyś bym się nie zabrał w ogóle, więc...