Zbadac dla jakiego parametru k,m funkcja jest ciagla

[anagram39]

Wyznaczyć wartości parametrów \(\displaystyle{ k, m \in\RR}\) tak, aby funkcja

\(\displaystyle{ h(x)=\begin{cases} \arctg\frac{\sin|x|}{\sqrt{3}x} &\text{dla } x <0 \\
\frac{\pi}{2}(1-\sqrt{k^2-1}) &\text{dla } x=0 \\
\frac {1}{\pi}e^{\frac{x-1}{x^2}}-m &\text{dla } x>0\end{cases}}\)

była ciągła dla dowolnej liczby rzeczywistej.

Nie mam pojecia jak to ugryźć :/ Ładnie prosze o jakakolwiek pomoc, bo mam duzo analogicznych zadan.

[Jan Kraszewski]

Wiesz jakie warunki muszą być spełnione, żeby funkcja \(h\) była ciągła w zerze?

JK

[Premislav]

Wcześniej napisał (tylko usunął), że wie, ale nie umie obliczyć, gdyż granica wydaje mu się skomplikowana.
Ponieważ
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^-}\frac{\sin |x|}{\sqrt{3}x}=\lim_{x\to 0^-}\frac{\sin(-x)}{\sqrt{3}x}\\=\lim_{x\to 0^-}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sin x}{x}\right)=-\frac{1}{\sqrt{3}}}\)
(znana granica specjalna z sinusem \(\displaystyle{ \lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1}\)), a funkcja arcus tangens jest ciągła, więc
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^{-}}\arctg\left(\frac{\sin |x|}{\sqrt{3}x}\right)=\arctg\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{\pi}{6}}\).
Czyli musi być
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}\left(1-\sqrt{k^{2}-1}\right)=-\frac{\pi}{6}}\), co daje Ci równanie z niewiadomą \(\displaystyle{ k}\). Można przy odpowiednich założeniach poprzenosić i podnieść do kwadratu stronami.

Dodano po 40 minutach 47 sekundach:
*powiedziała, przepraszam.

Dodano po 20 sekundach:
*napisała, nawet poprawić nie umiem dobrze.

[anagram39]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^-}\frac{\sin |x|}{\sqrt{3}x}=\lim_{x\to 0^-}\frac{\sin(-x)}{\sqrt{3}x}\\=\lim_{x\to 0^-}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sin x}{x}\right)=-\frac{1}{\sqrt{3}}}\)
(znana granica specjalna z sinusem \(\displaystyle{ \lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1}\))

Jeny, nie wpadłabym na to, żeby to tak rozdzielić i zastosowac ten wzor. Ogolnie mam chyba lekki problem z tymi granicami specjalnymi. Teraz reszta zadania jest już prosta, dziekuje za pomoc