Zbiór punktów ciągłości funkcji

[saymyname200]

Polecenie do zadania: wyznacz zbiór punktów ciągłości funkcji

\(\displaystyle{
f\left( x,y\right)= \begin{cases} x^2+y^2 & dla & x \le y \\ x+y & dla & x>y \end{cases}
}\)

Wcześniej miałam przykłady tylko dla \(\displaystyle{ (x,y)=(0,0) }\) i \(\displaystyle{ (x,y) \neq (0,0) }\)
To mój pomysł, jednak nie wiem czy to poprawny zapis:
\(\displaystyle{
x=y \rightarrow \begin{cases} \lim_{ x \to y} (x+y)=2y \\ x^2+y^2=2y^2 \end{cases} \\

}\)
Funkcja nie jest ciągła dla \(\displaystyle{ x=y }\)

[szw1710]

Sprawa w oczywisty sposób rozbija się o prostą \(y=x\). Dzieli ona płaszczyznę na dwie półpłaszczyzny otwarte, w każdej z nich funkcja jest ciągła jako wielomian. Jeśli \(y=x\), to \(f(x,x)=2x^2\). OK. No to zmierzajmy do \((x,x)\) w półpłaszczyźnie \(x>y\). Np. w kierunku pionowym. Mamy wtedy dla \(h\to 0^+\), że \(f(x+h,x)=2x+h\to 2x\). Mamy też \(2x=2x^2\iff x\in\{0,1\}\). Dlatego funkcja jest ciągła w punktach \((0,0),\ (1,1)\) prostej \(y=x\) (wymaga to jeszcze dodatkowego sprawdzenia), a wskazany argument pokazuje, że jest nieciągła w pozostałych punktach tej prostej.

Reasumując - funkcja jest ciągła w obu półpłaszczyznach otwartych oraz w punktach \((0,0),(1,1)\).