Wykaż w oparciu o definicję Cauchy'ego granicy funkcji prawdziwość następujących równości oraz wyznacz przedziały będące rozwiązaniem nierówości Cauchy'ego dla zadanych wartości parametrów \(\displaystyle{ \varepsilon}\) lub \(\displaystyle{ A}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty } \frac{1}{x^2+1}=0}\) i \(\displaystyle{ \varepsilon = 0{,}1}\) Odp \(\displaystyle{ x<-3}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 1^-} \frac{x^2+1}{x^2-1}=- \infty }\) i \(\displaystyle{ A = -9}\) odp \(\displaystyle{ \frac{2}{ \sqrt{5} }<x<1}\)
definicja granicy funkcji
-
szw1710
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: definicja granicy funkcji
Na pewno znasz definicję granicy funkcji według Cauchy dla
\(\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty} f(x) = g.}\)
Jeśli nie, to ją przypomijmy.
\(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty} f(x) = g \leftrightarrow \bigwedge_{\epsilon >0} \bigvee_{k<0} \bigwedge_{x} (x< k\rightarrow \left| f(x)- g \right| < \epsilon ) }\)
W naszym przypadku
\(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^2+1} = 0 \leftrightarrow \bigwedge_{\epsilon >0} \bigvee_{k<0} \bigwedge_{x} (x< k \rightarrow \left|\frac{1}{x^2+1}- 0 \right| < \epsilon) }\)
Należy dowieść prawdziwości zdania występującego po prawej stronie znaku równoważności.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty} f(x) = g.}\)
Jeśli nie, to ją przypomijmy.
\(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty} f(x) = g \leftrightarrow \bigwedge_{\epsilon >0} \bigvee_{k<0} \bigwedge_{x} (x< k\rightarrow \left| f(x)- g \right| < \epsilon ) }\)
W naszym przypadku
\(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^2+1} = 0 \leftrightarrow \bigwedge_{\epsilon >0} \bigvee_{k<0} \bigwedge_{x} (x< k \rightarrow \left|\frac{1}{x^2+1}- 0 \right| < \epsilon) }\)
Należy dowieść prawdziwości zdania występującego po prawej stronie znaku równoważności.
Ostatnio zmieniony 10 lis 2019, o 19:22 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.