Ok, to jeszcze raz: w drugim zdaniu stwierdziłeś, że liczby rzeczywiste definiuje się po to, żeby umożliwić wykonywanie pewnych operacji wyprowadzających poza zbiór liczb wymiernych. Jedną z takich operacji jest pierwiastkowanie, czyli liczby rzeczywiste definiuje się między innymi po to, żeby móc wyciągać pierwiastek kwadratowy z dowolnej liczby nieujemnej. Oczywiście we współczesnej matematyce wykonanie dowolnej operacji wymaga jej uprzedniego zdefiniowania, w przypadku zaś pierwiastkowania nieodłączną częścią definicji jest dowód istnienia pierwiastka z dowolnej liczby nieujemnej. A zatem: liczby rzeczywiste konstruuje się między innymi po to, żeby udowodnić istnienie pierwiastków kwadratowych ze wszystkich liczb nieujemnych (w tym: z liczby \(\displaystyle{ 2}\)), by następnie móc swobodnie pierwiastkować.
Wytłumacz mi więc, proszę, w jaki sposób nie jest to sprzeczne ze zdaniem pierwszym.
Ale później przyszła matematyka nowożytna, której siła polega na tym, że nawet najoczywistsze stwierdzenia (wyjąwszy aksjomaty) muszą mieć swój dowód. I takim dowodem nie może być odniesienie się do długości przekątnej kwadratu, bo nijak nie przystaje to do współczesnej definicji zbioru liczb rzeczywistych.a4karo pisze: ↑2 lis 2019, o 04:36Podobnie jak przez tysiące lat rozwoju matematyki uczeni nie widzieli potrzeby pokazywania, że istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat jest równy \(2\). Oni po prostu wiedzieli, że tą liczbą jest długość przekątnej kwadratu, która jest tworem dużo bardziej naturalnym niż \(\sup T\).
Na początku -a4karo pisze: ↑2 lis 2019, o 04:36Skoro zdefiniowaliśmy już liczby rzeczywiste to wiemy, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej istnieje pierwiastek z niej. A skoro wiemy, że istnieje \(\sqrt{2}\) to \(\sqrt{2}^2=2\) i to jest szukana w zadaniu liczba.
Jeżeli jednak po skonstruowaniu liczb rzeczywistych nie wiemy, że daje się w nich pierwiastkować, to co w takim razie wiemy o tych liczbach rzeczywistych?
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_rzeczywiste#Definicje_i_konstrukcje
Jeśli przez "znane nam liczby rzeczywiste" rozumiesz "liczby rzeczywiste wraz ze wszystkimi własnościami poznanymi do szkoły średniej włącznie", to powinno być oczywiste, że nie o takie liczby rzeczywiste chodzi, skoro od samego początku dyskusji mowa jest o dowodzie istnienia pierwiastka z dwóch.