Liczba rzeczywista której kwadrat daje dwa

[Dasio11]

W moim przekonaniu nie definiuje się liczb rzeczywistych po to, żeby pokazać istnienie pierwiastka z dwóch, bo o tym wiedzieli już starożytni. Buduje się je po to, żeby umożliwić wykonanie pewnych operacji, które wyprowadzają poza zbiór liczb wymiernych.

Nie widzisz sprzeczności między tymi zdaniami, skoro sam później zauważasz, że pierwiastkowanie jest jedną ze wspomnianych operacji wyprowadzających poza zbiór liczb wymiernych?

Nie, nie widzę.

Ok, to jeszcze raz: w drugim zdaniu stwierdziłeś, że liczby rzeczywiste definiuje się po to, żeby umożliwić wykonywanie pewnych operacji wyprowadzających poza zbiór liczb wymiernych. Jedną z takich operacji jest pierwiastkowanie, czyli liczby rzeczywiste definiuje się między innymi po to, żeby móc wyciągać pierwiastek kwadratowy z dowolnej liczby nieujemnej. Oczywiście we współczesnej matematyce wykonanie dowolnej operacji wymaga jej uprzedniego zdefiniowania, w przypadku zaś pierwiastkowania nieodłączną częścią definicji jest dowód istnienia pierwiastka z dowolnej liczby nieujemnej. A zatem: liczby rzeczywiste konstruuje się między innymi po to, żeby udowodnić istnienie pierwiastków kwadratowych ze wszystkich liczb nieujemnych (w tym: z liczby \(\displaystyle{ 2}\)), by następnie móc swobodnie pierwiastkować.

Wytłumacz mi więc, proszę, w jaki sposób nie jest to sprzeczne ze zdaniem pierwszym.

Podobnie jak przez tysiące lat rozwoju matematyki uczeni nie widzieli potrzeby pokazywania, że istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat jest równy \(2\). Oni po prostu wiedzieli, że tą liczbą jest długość przekątnej kwadratu, która jest tworem dużo bardziej naturalnym niż \(\sup T\).

Ale później przyszła matematyka nowożytna, której siła polega na tym, że nawet najoczywistsze stwierdzenia (wyjąwszy aksjomaty) muszą mieć swój dowód. I takim dowodem nie może być odniesienie się do długości przekątnej kwadratu, bo nijak nie przystaje to do współczesnej definicji zbioru liczb rzeczywistych.

Skoro zdefiniowaliśmy już liczby rzeczywiste to wiemy, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej istnieje pierwiastek z niej. A skoro wiemy, że istnieje \(\sqrt{2}\) to \(\sqrt{2}^2=2\) i to jest szukana w zadaniu liczba.

Jeżeli jednak po skonstruowaniu liczb rzeczywistych nie wiemy, że daje się w nich pierwiastkować, to co w takim razie wiemy o tych liczbach rzeczywistych?

Na początku -

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_rzeczywiste#Definicje_i_konstrukcje

.

Całą dyskusja wzięła się jednak z tego, że zakładam, że liczby rzeczywiste \(R\), o których pisze autor w Twierdzeniu 1.4.5 to znane nam liczby rzeczywiste \(\RR\). Być może na tym etapie to założenie jest na wyrost.

Jeśli przez "znane nam liczby rzeczywiste" rozumiesz "liczby rzeczywiste wraz ze wszystkimi własnościami poznanymi do szkoły średniej włącznie", to powinno być oczywiste, że nie o takie liczby rzeczywiste chodzi, skoro od samego początku dyskusji mowa jest o dowodzie istnienia pierwiastka z dwóch.

[Mondo]

@Dasio11, bardzo dziekuję! Z Twoim opisem zrozumiałem w końcu co dzieje się w tym dowodzie

Natomiast zastanawiam się czy kontynuować studiowanie analizy z tej książki. Autor niby opisuje co bedzie robił ale robi to w strasznie niezrozumiały sposób. Gdyby napisał "postaramy się znaleźć liczbę B, która bedzie nieco większą niż supremum tego zbioru A, a później pokażemy iż liczba B podniesiona do kwadratu wciąż może być mniejsza niż 2. Tym samym doprowadzamy do sprzeczności z której wynika że A nie jest supremum." Zrozumiałbym ten dowód o wiele szybciej....

Tak więc A nigdy nie bedzie mniejsze niż 2. Wiec to udowadnia ze A musi być równe 2.

[Dasio11]

Natomiast zastanawiam się czy kontynuować studiowanie analizy z tej książki. Autor niby opisuje co bedzie robił ale robi to w strasznie niezrozumiały sposób.

W moim odczuciu linkowany dowód jest jasno opisany. W szczególności, napisane jest niemal dokładnie to co proponujesz:

"postaramy się znaleźć liczbę B, która bedzie nieco większą niż supremum tego zbioru A, a później pokażemy iż liczba B podniesiona do kwadratu wciąż może być mniejsza niż 2."

"In search of an element of \(\displaystyle{ T}\) that is larger than \(\displaystyle{ \alpha}\)..."

"Tym samym doprowadzamy do sprzeczności z której wynika że A nie jest supremum."

"The strategy is to demonstrate that \(\displaystyle{ \alpha^2 < 2}\) violates the fact that \(\displaystyle{ \alpha}\) is an upper bound for \(\displaystyle{ T}\)..."

Ale oczywiście najważniejsze jest, żeby opis dowodu był zrozumiały dla Ciebie, więc nie chciałbym, żebyś potraktował moją opinię jako zniechęcenie do szukania podręcznika, którego styl bardziej Ci odpowiada.

[a4karo]

@Dasio11

Ja nie neguję ani potrzeby skonstruowania liczb rzeczywistych, ani poprawności dowodu. Jedyne co budzi mój niesmak, to sztuczność zaprezentowanego dowodu.
Z dużą dozą prawdopodobieństwa mogę przyjąć, że autor zadania definiuje liczby rzeczywiste przez przekroje Dedekinda. Wtedy przekrój
$$\{q\in \QQ: q^2<2\}\cup \{ q\in \QQ : q<0\}| \{q\in\QQ: q>0 \wedge q^2>2\}$$
definiuje liczbę rzeczywistą \(x\), o której łatwo pokazać, że \(x^2=2\).
I nie trzeba w tym celu pokazywać, że lewa część przekroju nie ma elementu największego, a prawa nie ma najmniejszego.

I wychodzi to wprost z konstrukcji Dedekinda.

Natomiast żeby dowód z książki był poprawny trzeba wiedzieć jeszcze cała parę rzeczy, które być może na tym etapie już zostały pokazane, a być może nie (nie wiemy, bo nie znamy kontekstu). Oto lista tego, co jest potrzebne
1. supremum ograniczonego zbioru liczb rzeczywistych jest liczbą rzeczywistą
2. to samo dla infimum
3. dla dwóch liczb rzeczywistych \(x,y\) zachodzi jedno z trzech: \(x<y \vee x>y \vee x=y\)


Co do uwag o sprzeczności w moim pierwszym zdaniu: konstrukcja pierwiastka kwadratowego przy pomocy cyrkla i linijki znali już starożytni. Wiedzieli również, że długość przekątnej kwadratu jednostkowego nie jest liczbą wymierną. Jeżeli liczby rzeczywiste dodatnie utożsamiać z długościami odcinków, to istnienie pierwiastka z dwóch nie wymaga takiej dziwnej konstrukcji.

Piszesz

A zatem: liczby rzeczywiste konstruuje się między innymi po to, żeby udowodnić istnienie pierwiastków kwadratowych ze wszystkich liczb nieujemnych (w tym: z liczby
2
), by następnie móc swobodnie pierwiastkować.

Tak, ale dowodu istnienia pierwiastków kwadratowych z liczb dodatnich nie robi się tak, że pokazuje się istnienie pierwiastka z dwóch, trzech, pięciu itd ad infinitum, tylko konstruuje się pierwiastek bazując na przyjętej definicji i stąd jako prosty wniosek wynika istnienie pierwiastka z dwóch.
Dlatego uważam, że takie pokazywanie istnienia pierwiastka jest sztuczne.

[matmatmm]

Tak, ale dowodu istnienia pierwiastków kwadratowych z liczb dodatnich nie robi się tak, że pokazuje się istnienie pierwiastka z dwóch, trzech, pięciu itd ad infinitum, tylko konstruuje się pierwiastek bazując na przyjętej definicji i stąd jako prosty wniosek wynika istnienie pierwiastka z dwóch.
Dlatego uważam, że takie pokazywanie istnienia pierwiastka jest sztuczne.

Kwestia gustu, ale nie zaprzeczysz chyba, że wyprowadzenie twierdzenia o istnieniu pierwiastków z samych aksjomatów liczb rzeczywistych (

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_rzeczywiste#Definicje_i_konstrukcje%29

ma swoje zalety. Wiemy wtedy, że pierwiastki istnieją w dowolnej konstrukcji.

Oczywiście to, że tam akurat jest pierwiastek kwadratowy z liczby \(\displaystyle{ 2}\), wynika raczej ze względów dydaktycznych, bo sensownym byłoby dowodzenie istnienia \(\displaystyle{ \sqrt[n]{x}}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ n\in\NN}\) oraz \(\displaystyle{ x\geq 0}\).

[Dasio11]

Z dużą dozą prawdopodobieństwa mogę przyjąć, że autor zadania definiuje liczby rzeczywiste przez przekroje Dedekinda.

Przeciwnie: w standardowym kursie analizy matematycznej przyjmuje się - mniej lub bardziej wyraźnie - definicję aksjomatyczną liczb rzeczywistych. Konkretne modele, takie jak konstrukcja przez przekroje Dedekinda, omawiane są raczej w załącznikach lub w podręcznikach z podstaw matematyki, jak na przykład Teoria Mnogości Błaszczyka i Turka. Twoja krytyka opiera się na bardzo wątpliwej przesłance.

Natomiast żeby dowód z książki był poprawny trzeba wiedzieć jeszcze cała parę rzeczy, które być może na tym etapie już zostały pokazane, a być może nie (nie wiemy, bo nie znamy kontekstu). Oto lista tego, co jest potrzebne
1. supremum ograniczonego zbioru liczb rzeczywistych jest liczbą rzeczywistą
2. to samo dla infimum
3. dla dwóch liczb rzeczywistych \(x,y\) zachodzi jedno z trzech: \(x<y \vee x>y \vee x=y\)

Własności drugiej nie potrzeba w dowodzie z książki, a dwie pozostałe są aksjomatami ciała uporządkowanego liczb rzeczywistych - co znów wskazuje na to, że liczby rzeczywiste są w tym podręczniku wprowadzone aksjomatycznie.

Co do uwag o sprzeczności w moim pierwszym zdaniu: konstrukcja pierwiastka kwadratowego przy pomocy cyrkla i linijki znali już starożytni. Wiedzieli również, że długość przekątnej kwadratu jednostkowego nie jest liczbą wymierną. Jeżeli liczby rzeczywiste dodatnie utożsamiać z długościami odcinków, to istnienie pierwiastka z dwóch nie wymaga takiej dziwnej konstrukcji.

Powtarzam: sposób w jaki starożytni matematycy rozumieli liczby rzeczywiste nie spełnia obecnych standardów ścisłości. Możesz prywatnie pozostać przy przestarzałej definicji liczby rzeczywistej jako "długości odcinka" albo uważać, że twierdzenie Darboux jest oczywiste i nie wymaga dowodu, ale nie traktuj tych osobliwych upodobań jako powodu by krytykować klasyczny dowód matematyki współczesnej.

Tak, ale dowodu istnienia pierwiastków kwadratowych z liczb dodatnich nie robi się tak, że pokazuje się istnienie pierwiastka z dwóch, trzech, pięciu itd ad infinitum, tylko konstruuje się pierwiastek bazując na przyjętej definicji i stąd jako prosty wniosek wynika istnienie pierwiastka z dwóch.
Dlatego uważam, że takie pokazywanie istnienia pierwiastka jest sztuczne.

Dla dojrzałego matematyka faktycznie bardziej elegancko byłoby wykazać istnienie pierwiastka z dowolnej, a nie konkretnej liczby nieujemnej. Ale podręczniki do analizy zazwyczaj pisane są dla studentów pierwszego roku, którzy dopiero uczą się abstrakcji, więc przeprowadzenie tego dowodu na przykładzie jest w mojej opinii korzystniejsze dydaktycznie, tym bardziej że dowód dla każdej innej liczby rzeczywistej wygląda tak samo.

[Mondo]

W moim odczuciu linkowany dowód jest jasno opisany.

A co sądzisz o zdaniu

In search of an element of
T that is larger than \(\displaystyle{ \alpha}\)...

Bo mnie rzuca się w oczy to, że zbiór \(\displaystyle{ T}\) nie może mieć elementu większego niż \(\displaystyle{ \alpha}\) gdyż jest ona jego supremum. Zgadza się?

Poszedłem trochę daje i znajduję kolejne niejasności np. autor udowania, iż zbiór liczb rzeczywistych nie jest policzalny ponieważ:

a. tworzy zbiór \(\displaystyle{ \RR = \{x_1, x_2,...,x_n\}}\)
b. nastepnie zamkniete interwały \(\displaystyle{ I_n}\) poprzez
\(\displaystyle{ I_n+1 \subseteq I_n}\),
\(\displaystyle{ x_n+1 \notin I_n+1}\)
c. Autor podkreśla to co wynika z powyższych równań jeszcze raz słownie "Interwał \(\displaystyle{ I_1}\) nie zawiera \(\displaystyle{ x_1}\)"

Po czym dochodzi do wniosku, że \(\displaystyle{ x_{n_{0}}}\) nie jest częścią wspólną \(\displaystyle{ I_n}\) co stoi w sprzeczności z tym, że zbiór \(\displaystyle{ \RR}\) zawiera wszystkie liczby więc zbiór ten nie jest policzalny. No okay ale chwila, przecież autor sam, celowo w kroku b wykluczył liczbę \(\displaystyle{ x_1}\) więc jak oczekuje on, że znajdzie się ona w tym zbiorze?!

Tutaj link do tego dowodu w orignale ->

Kod: Zaznacz cały

https://i.paste.pics/c1b816b5fe724f34ca2399392672edea.png

BTW, Abstrahujac od tego dowodu, gdyby tak się nad tym zastanowić to dało by się wyliczyć / przypisać każdej liczbie z zbioru \(\displaystyle{ \RR}\) liczbę z zbioru \(\displaystyle{ \NN}\). Ponieważ \(\displaystyle{ \NN}\) jest nieskończony więc lecimy -> \(\displaystyle{ 1 \rightarrow 0,00000001; 2 \rightarrow 0,00000002; 3 \rightarrow 0,00000003}\); itd. Dlaczego niby nie można tego zrobić?


I kolejna kwestia w tym temacie - w podsumowaniu autor pisze o pewnym paradoksie: "Jeśli stworymy zbiór \(\displaystyle{ U}\) który teroetycznie zawiera wszystkie liczby to dojdziemy do sprzeczności \(\displaystyle{ card U < card P(U)}\). No i właśnie jak to możliwe, że zbiór wszystkich podzbiorów \(\displaystyle{ U}\) (a tym jest \(\displaystyle{ P(U)}\)) może się okazać większy niż samo \(\displaystyle{ U}\)?

Dziękuję za rozjasnienie tych wątpliwośći

[Jan Kraszewski]

a. tworzy zbiór \(\displaystyle{ \RR = \{x_1, x_2,...,x_n\}}\)

Nie "tworzy", tylko zakłada nie wprost przeliczalność i numeruje liczbami naturalnymi, więc \(\displaystyle{ \RR = \{x_1, x_2,...,x_n\red{,...}\}}\).

b. nastepnie zamkniete interwały[/latex]

Fuj! Nie "zamknięte interwały" tylko "przedziały domknięte".

Po czym dochodzi do wniosku, że \(\displaystyle{ x_{n_{0}}}\) nie jest częścią wspólną \(\displaystyle{ I_n}\)

Nie należy do części wspólnej.

co stoi w sprzeczności z tym, że zbiór \(\displaystyle{ \RR}\) zawiera wszystkie liczby więc zbiór ten nie jest policzalny. No okay ale chwila, przecież autor sam, celowo w kroku b wykluczył liczbę \(\displaystyle{ x_1}\) więc jak oczekuje on, że znajdzie się ona w tym zbiorze?!

Widzę, że nie ogarniasz tego dowodu. Autor tak przeprowadził konstrukcję tych przedziałów, żeby w ich przekroju nie było żadnej z liczb \(\displaystyle{ x_i}\). Korzystając z innego twierdzenia wie jednak, że w tym przekroju jest jakaś liczba rzeczywista, co oznacza, że zbiór \(\displaystyle{ \{x_1, x_2,...,x_n,...\}}\) nie jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych, wbrew założeniu nie wprost, co daje pożądaną sprzeczność.

Abstrahujac od tego dowodu, gdyby tak się nad tym zastanowić to dało by się wyliczyć / przypisać każdej liczbie z zbioru \(\displaystyle{ \RR}\) liczbę z zbioru \(\displaystyle{ \NN}\). Ponieważ \(\displaystyle{ \NN}\) jest nieskończony więc lecimy -> \(\displaystyle{ 1 \rightarrow 0,00000001; 2 \rightarrow 0,00000002; 3 \rightarrow 0,00000003}\); itd. Dlaczego niby nie można tego zrobić?

Na razie robisz coś odwrotnego, niż deklarujesz, czyli przypisujesz liczbom naturalnym liczby rzeczywiste, a nie odwrotnie. Nic wszelakoż z tego przypisania nie wynika.

No i właśnie jak to możliwe, że zbiór wszystkich podzbiorów \(\displaystyle{ U}\) (a tym jest \(\displaystyle{ P(U)}\)) może się okazać większy niż samo \(\displaystyle{ U}\)?

A dlaczego nie? Jest na to dowód. I tak jest także dla zbiorów skończonych, więc nawet z potocznymi intuicjami się zgadza.

Musisz mieć świadomość, że w przypadku zbiorów nieskończonych większość potocznych intuicji załamuje się (i stąd zazwyczaj biorą się pytania "jak to możliwe?!").

JK