Granica funkcji a definicja

[Mondo]

Witam,

mam kilka pytań wiązanych z definicją granicy, a także wykresem funkcji poniżej.

Zaczynając od definicji: Granica funkcji \(\displaystyle{ \lim_{ x \to a } f(x) = l }\) wtedy i tylko wtedy gdy dla dowonlego \(\displaystyle{ \epsilon > 0}\) istnieje \(\displaystyle{ \delta > 0}\) tak, że \(\displaystyle{ 0 < |x-a| < \delta}\) i \(\displaystyle{ |f(x) - f(a) < \epsilon|}\)

1. W wyrażeniu \(\displaystyle{ 0 < |x-a| < \delta}\) co tak naprawdę daje warunek iż \(\displaystyle{ |x-a| > 0
}\)? Z definicji wartości wezwzględnej to zawsze bedzie większe od zera. Zgadza się? Domyślam się iż chodzi o to aby sprawdzić granicę z obu stron "a" ale nie bardzo widzę jak ten zapis to "wymusza"?
2. Dla funkcji jak poniżej podobno granica w punkcie "l" istnieje, tylko dlaczego skoro wartość w punkcie "a" jest zdecydowanie większa niż l, a tym samym \(\displaystyle{ |f(x) - l|}\) bedzie zdecydowanie większe ni z \(\displaystyle{ \epsilon}\). Zgadza się? Czego tutaj nie dostrzegam co sprawia, że nie widzę tej granicy?

[Janusz Tracz]

Raczej powinno być:
Granica \(\displaystyle{ \lim_{x \to a} f(x)=l}\) wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon >0}\) istnieje \(\displaystyle{ \delta >0}\) taka, że gdy \(\displaystyle{ 0<|x-a|<\delta}\) to \(\displaystyle{ |f(x)-l|<\epsilon}\)

\(\displaystyle{ \bullet}\) Zamiast "i" jest "to" bo nierówność \(\displaystyle{ 0<|x-a|<\delta}\) implikuje \(\displaystyle{ |f(x)-l|<\epsilon}\)

\(\displaystyle{ \bullet}\) Użycie \(\displaystyle{ f(a)}\) jest niedozwolone bo \(\displaystyle{ 0<|x-a|}\) a to oznacza, że \(\displaystyle{ x \neq a}\) zatem \(\displaystyle{ f(a)}\) nie ma sensu.

I wiąże się to z Twoim pierwszym pytaniem dlaczego \(\displaystyle{ 0<|x-a|}\). A no dlatego bo \(\displaystyle{ a}\) nie musi (i często nie należy) do dziedziny by można było badać granicę w punkcie. Wymaganie aby \(\displaystyle{ a}\) było z dziedziny pojawia się przy badaniu ciągłości która jest zdefiniowana praktycznie tak samo jak granica z tą różnicą, że \(\displaystyle{ f(a)}\) musi istnieć, zatem tam warunku \(\displaystyle{ 0<|x-a|}\) już nie ma.

Dodano po 6 minutach 23 sekundach:
2) Granica istnieje bo mimo iż \(\displaystyle{ f(a) \neq l}\) to dla dowolnego ciągu \(\displaystyle{ x_n}\) zbiegającego do \(\displaystyle{ a}\) (ale nie będącego bezpośrednio równym \(\displaystyle{ a}\)) zachodzi \(\displaystyle{ f(x_n) \rightarrow l}\). Innymi słowy dla dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon >0}\) znajdzie się takie \(\displaystyle{ \delta}\) sąsiedztwo, że gdy \(\displaystyle{ x\in\left( a-\delta , a+\delta\right) \setminus \left\{ a\right\} }\) to \(\displaystyle{ |f(x)-l|<\epsilon}\)

Funkcja nie jest natomiast ciągła do własnie \(\displaystyle{ f(a) \neq l}\)

[Mondo]

Bardzo dziękuję za wyjaśnienie, niemal wszystko jest jasne poza jednym, gdzie w definicji jest "wymuszenie" sprawdzenia tej granicy z obu stron "a"?

[Jan Kraszewski]

gdzie w definicji jest "wymuszenie" sprawdzenia tej granicy z obu stron "a"?

W wartości bezwzględnej \(\displaystyle{ 0<|x-a|<\delta}\) - ten warunek spełniają \(\displaystyle{ x}\)-y z obu stron \(\displaystyle{ a}\).

Jeżeli funkcja jest zadana w inny sposób z lewej, a w inny z prawej strony \(\displaystyle{ a}\), to wtedy nie ma innego wyjścia niż policzyć granice jednostronne.

JK

[Janusz Tracz]

Definicja nie zakłada po której "stronie" jest \(\displaystyle{ x}\) w stosunku do \(\displaystyle{ a}\) istotna jest tylko odległość (mamy się zbliżać z \(\displaystyle{ x}\) da \(\displaystyle{ a}\) bez zakładania strony) stąd \(\displaystyle{ |x-a|}\). Zatem "wymuszeniem" sprawdzenia tej granicy z obu stron jest w pewnym sensie brak założenia żadnej strony (nikogo nie dyskryminujemy). Innymi słowy gdybyś sprawdził tylko granicę prawostronną czyli \(\displaystyle{ x>a}\) to mogło by się okazać, że mimo iż tak liczona granica (tj. granica prawostronna) istnieje to nie będzie spełniona implikacja \(\displaystyle{ |x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-l|<\epsilon}\) bo może się zepsuć dla \(\displaystyle{ x<a}\) czyli granica nie istnieje.