Badanie ciągłości funkcji

[saymyname200]

W następującym przykładzie:
\(\displaystyle{ f(x,y)= \begin{cases} 0 &\text{dla } (x,y) = (0,0) \\ \frac{( x^{2} y^{3})}{2x ^{2}+y ^{2} } &\text{dla }(x,y) \neq (0,0) \end{cases} }\)

Po obliczeniu granicy \(\displaystyle{ (x,y) \rightarrow (0,0)}\) wychodzi, że nie wiadomo czy jest ograniczony. Granice iterowane są takie same, więc to nic nie daje. Należy dobrać ciągi, aby wychodziły różne granice, jednak cokolwiek nie dobieram to wychodzi \(\displaystyle{ 0}\). Jakiś pomysł ciągu dążącego do \(\displaystyle{ (0,0)}\), którego granica jest inna niż \(\displaystyle{ 0}\)?

[Tmkk]

Ale ta granica to zero, więc ciężko będzie znaleźć takie ciągi

Również:

Po obliczeniu granicy (x,y)->(0,0) wychodzi, że nie wiadomo czy jest ograniczony.

hę?

[Premislav]

Nic dziwnego, że nie możesz dobrać takiego ciągu, ponieważ on nie istnieje, a granica wynosi zero:
jeśli \(\displaystyle{ x=0}\) lub \(\displaystyle{ y=0}\), to oczywiście \(\displaystyle{ f(x,y)\equiv 0}\), a w przeciwnym razie mamy
\(\displaystyle{ |f(x,y)|=\frac{x^{2}|y|^{3}}{2x^{2}+y^{2}}\le \frac{x^{2}|y|^{3}}{2x^{2}}=\frac{|y|^{3}}{2}\stackrel{(x,y)\to (0,0)}\longrightarrow 0}\).

[saymyname200]

Ale ta granica to zero, więc ciężko będzie znaleźć takie ciągi

Również:

Po obliczeniu granicy \(\displaystyle{ (x,y) \rightarrow (0,0)}\) wychodzi, że nie wiadomo czy jest ograniczony.

hę?

Miałam na myśli, iż po skorzystaniu ze współrzędnych biegunowych przy \(\displaystyle{ r \rightarrow 0}\) wychodzi taki wynik, iż ciężko określić czy jest ograniczony czy nie

Dodano po 57 sekundach:

Nic dziwnego, że nie możesz dobrać takiego ciągu, ponieważ on nie istnieje, a granica wynosi zero:
jeśli \(\displaystyle{ x=0}\) lub \(\displaystyle{ y=0}\), to oczywiście \(\displaystyle{ f(x,y)\equiv 0}\), a w przeciwnym razie mamy
\(\displaystyle{ |f(x,y)|=\frac{x^{2}|y|^{3}}{2x^{2}+y^{2}}\le \frac{x^{2}|y|^{3}}{2x^{2}}=\frac{|y|^{3}}{2}\stackrel{(x,y)\to (0,0)}\longrightarrow 0}\).

Dziękuję bardzo za odp, dokładnie takiego wytłumaczenia potrzebowałam!

[Tmkk]

Akurat biegunowe tutaj też dają radę.