Co zrobić po przekształceniu wyrażenia na e?

[Perunn]

Witam. Mam za zadanie obliczyć granicę:

\(\displaystyle{ \lim_ {x \to \infty } \left( \frac{n+2}{n+1} \right)^{n} = \lim_ {x \to \infty } \left( \frac{n+1+1}{n+1} \right)^{n} = \lim_ {x \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{n+1} \right)^{n+1} = \lim_ {x \to \infty } \left[ \left( 1 + \frac{1}{n+1} \right)^{n+1}\right]^ \frac{1}{n+1} = \lim_ {x \to \infty } \left( e \right)^{ \frac{1}{n+1}} = }\)

I tu się zaciąłem. Co mogę dalej z tym zrobić?

[Premislav]

Obawiam się, że jednak
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty}\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n}=\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n}}\), gdyż wyrażenie \(\displaystyle{ \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n}}\) nie zależy od \(\displaystyle{ x\ldots}\).
Aczkolwiek możliwe, że się pomyliłeś w zapisie i chodziło o \(\displaystyle{ \lim_{\red{n}\to \infty}\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n}}\).

Wówczas nie jest to problem:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{1+\frac{1}{n+1}}}\)
i licznik dąży do \(\displaystyle{ e}\), zaś mianownik do \(\displaystyle{ 1}\), więc cały ułamek ma granicę równą \(\displaystyle{ \frac{e}{1}=e}\).

[Perunn]

Obawiam się, że jednak
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty}\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n}=\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n}}\), gdyż wyrażenie \(\displaystyle{ \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n}}\) nie zależy od \(\displaystyle{ x\ldots}\).
Aczkolwiek możliwe, że się pomyliłeś w zapisie i chodziło o \(\displaystyle{ \lim_{\red{n}\to \infty}\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n}}\).

Dokładnie tak literówka, a potem ctrl + c, ctrl + v.

Wówczas nie jest to problem:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{1+\frac{1}{n+1}}}\)
i licznik dąży do \(\displaystyle{ e}\), zaś mianownik do \(\displaystyle{ 1}\), więc cały ułamek ma granicę równą \(\displaystyle{ \frac{e}{1}=e}\).

Nie bardzo rozumiem w jaki sposób przekształciłeś lewą stronę na prawą. Można krok po kroku?

[a4karo]

Witam. Mam za zadanie obliczyć granicę:

\(\displaystyle{ \lim_ {x \to \infty } \left( \frac{n+2}{n+1} \right)^{n} = \lim_ {x \to \infty } \left( \frac{n+1+1}{n+1} \right)^{n} = \lim_ {x \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{n+1} \right)^{n+1} = \lim_ {x \to \infty } \left[ \left( 1 + \frac{1}{n+1} \right)^{n+1}\right]^ \frac{1}{n+1} = \lim_ {x \to \infty } \left( e \right)^{ \frac{1}{n+1}} = }\)

I tu się zaciąłem. Co mogę dalej z tym zrobić?

Przedostatnia równość nie jest prawdziwa, a ostatnia woła o pomstę do nieba: nie wolno przechodzić do granicy jedynie w części wyrażenia.

[Premislav]

Nie wiem, co tu jest niejasne.
\(\displaystyle{ \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n}=\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1-1}=\frac{\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}}{\frac{n+2}{n+1}}=\frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{1+\frac{1}{n+1}}}\)

[Perunn]

Witam. Mam za zadanie obliczyć granicę:

\(\displaystyle{ \lim_ {x \to \infty } \left( \frac{n+2}{n+1} \right)^{n} = \lim_ {x \to \infty } \left( \frac{n+1+1}{n+1} \right)^{n} = \lim_ {x \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{n+1} \right)^{n+1} = \lim_ {x \to \infty } \left[ \left( 1 + \frac{1}{n+1} \right)^{n+1}\right]^ \frac{1}{n+1} = \lim_ {x \to \infty } \left( e \right)^{ \frac{1}{n+1}} = }\)

I tu się zaciąłem. Co mogę dalej z tym zrobić?

Przedostatnia równość nie jest prawdziwa, a ostatnia woła o pomstę do nieba: nie wolno przechodzić do granicy jedynie w części wyrażenia.

W ostatnie dwa wyrażenia też się wkradła literówka. Miało być tak:

\(\displaystyle{ \lim_ {x \to \infty } \left[ \left( 1 + \frac{1}{n+1} \right)^{n+1}\right]^ \frac{n}{n+1}}\)

Nie wiem, co tu jest niejasne.
\(\displaystyle{ \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n}=\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1-1}=\frac{\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}}{\frac{n+2}{n+1}}=\frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{1+\frac{1}{n+1}}}\)

Teraz rozumiem. I to dopiero po dłuższej chwili zastanowienia się nad tym co tu zaszło. Nie każdy ma tyle samo wprawy w przekształcaniu potęg.

Dziękuje za pomoc. Temat do zamknięcia.