Granica (-1)^n do czego dąży?

[adi333344]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{ 2^n+(-1)^n }{2^n+1} }\)
Gdyby nie ten minus \(\displaystyle{ (-1)^n }\) całość dążyła by do zera, a tak nie wiem jak obliczyć tą granicę. Bardzo prosiłbym o pomoc
Aktualna postać do której udało mi się doprowadzić:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{2}{2} \right)^n \cdot \frac{ 1+\left(-\frac{1}{2}\right)^n }{1+ \frac{1}{2} ^n} }\)

[Jan Kraszewski]

A dlaczego uważasz, że do zera?

Wskazówka: twierdzenie o trzech ciągach

JK

[adi333344]

Dziękuję za wskazówkę . Tak właściwie to prędzej do 1 nie do zera

Dodano po 44 minutach 19 sekundach:
Zastanawiam się czy można spierwiastkować licznik i mianownik pierwiastkiem stopnia n, a następnie skrócić "n"?
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{ 2^n+(-1)^n }{2^n+1} }\)

[Jan Kraszewski]

Zastanawiam się czy można spierwiastkować licznik i mianownik pierwiastkiem stopnia n, a następnie skrócić "n"?

Że co?!

JK

[adi333344]

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \frac{\sqrt[n]{2^n+(-1)^n} }{\sqrt[n]{2^n+1} }}\)
I z mianownika i licznika wykorzystać twierdzenie o trzech ciągach?

Dodano po 19 minutach 32 sekundach:
\(\displaystyle{ (-1)^n}\) To strasznie utrudnia, nie wiem jak się za to zabrać, bo przecież nie można wyliczyć \(\displaystyle{ -1}\) pod pierwiastkiem stopnia \(\displaystyle{ 2}\). Tak samo nie wiem jak zapisać to w twierdzeniu o trzech ciągach założyłem sobie, że \(\displaystyle{ \sqrt[n]{(-1)^n} \le \sqrt[n]{2^n + (-1)^n} \le \sqrt[n]{2^n + 2^n}}\) Uzasadnię to tym, że w przypadku gdybym zapisał to w ten sposób \(\displaystyle{ \sqrt[n]{2^n} \le \sqrt[n]{2^n + (-1)^n} \le \sqrt[n]{2^n + 2^n}}\) to przy \(\displaystyle{ n = 1}\), będzie zachodziła nieprawda, czyli \(\displaystyle{ 2 \le 1 \le 4}\). Zastanawiam czy moje myslenie jest dobre. Bardzo proszę o pomoc.

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \frac{\sqrt[n]{2^n+(-1)^n} }{\sqrt[n]{2^n+1} }}\)

Ale co to jest? Przecież to jest zupełnie inny ciąg. Nie możesz sobie po uważaniu dopisywać dodatkowych symboli.

I z mianownika i licznika wykorzystać twierdzenie o trzech ciągach?

W żadnym wypadku.

\(\displaystyle{ (-1)^n}\) To strasznie utrudnia,

E tam.

nie wiem jak się za to zabrać, bo przecież nie można wyliczyć \(\displaystyle{ -1}\) pod pierwiastkiem stopnia \(\displaystyle{ 2}\).

Ale Ty nie masz żadnego pierwiastka! Widzisz gdzieś w wyrażeniu \(\displaystyle{ \frac{ 2^n+(-1)^n }{2^n+1}}\) jakiś pierwiastek? Wymyśliłeś sobie nieistniejący problem, a potem zastanawiasz się, jak go rozwiązać... A to, co piszesz dalej, nie ma niestety żadnego sensu.

Zastosowanie twierdzenia o trzech ciągach:

\(\displaystyle{ 2^n-1\le 2^n+(-1)^n\le 2^n+1.}\)

JK

[adi333344]

Bardzo dziękuje za odpowiedź! Faktycznie tylko sobie utrudniałem. I dzięki Panu, wiem jak skonstruować twierdzenie o trzech ciągach.
A całość wyszła tak:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{2^n+(-1)^n}{2^n+1} = \infty}\)
Twierdzenie o trzech ciągach:
\(\displaystyle{ 2^n - 1 \le 2^n + (-1)^n \le 2^n + 1}\)
Wyliczenie granic:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} 2^n-1= \lim_{n \to \infty} 2^n(1-( \frac{1}{2^n} ) = \infty \cdot 1 = \infty}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} 2^n+(-1)^n= \lim_{n \to \infty} = \lim_{n \to \infty} 2 ^{n} \left( 1+ \left( \frac{-1}{2} \right) ^{n}\right) = \infty \left( 1 + \infty\right) =\infty \cdot \infty = \infty }\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} 2 ^{n}+1= \lim_{ n\to \infty} 2 ^{n} \left( 1+ \left( \frac{1}{2 ^{n} } \right) \ \right) = \infty \cdot 1=\infty }\)

[Janusz Tracz]

A całość wyszła tak:...

To nie wygląda dobrze. Ta granica nie jest równa \(\displaystyle{ \infty }\) tylko \(\displaystyle{ 1}\) wskazówkę JK trzeba najpierw przekształcić tak by znaleźć górne i dolne szacowanie \(\displaystyle{ \frac{ 2^n+(-1)^n }{2^n+1}}\) a nie \(\displaystyle{ 2^n+(-1)^n}\) wszak interesuje Cię granica \(\displaystyle{ \frac{ 2^n+(-1)^n }{2^n+1}}\) a nie \(\displaystyle{ 2^n+(-1)^n}\).

[Jan Kraszewski]

A całość wyszła tak:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{2^n+(-1)^n}{2^n+1} = \infty}\)

Janusz Tracz ma rację - bardzo źle to wygląda. Skorzystaj z jego wskazówki.

JK

[adi333344]

Dobrze, więc spróbuję wykonać tak jak podał. A już się cieszyłem ahh

[Jan Kraszewski]

Próbuj. Pamiętaj, że matematyka to nie jest sztuka manipulowania znaczkami. Matematyka opiera się na zrozumieniu, a zrozumienie w tym przykładzie polega m.in. na tym, żeby wiedzieć, co trzeba policzyć.

JK