Równanie płaszczyzny stycznej

[Pisiuu]

Sprawdzcie czy dobrze pliska

B)Wyznacz równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji \(\displaystyle{ z = \ln \left( 1+\left( \frac{x}{y} \right)^{2} \right)}\) w punkcie \(\displaystyle{ \left( x _{o}, 1, z _{o} \right)}\). Dla jakiego \(\displaystyle{ x_{o}}\) płaszczyzna ta jest równoległa do \(\displaystyle{ x-y-z = 3}\) ?

Wektor normalny płaszczyny:

\(\displaystyle{ \left[ f _{x}\left( x _{o}, y _{o} \right), f _{y}\left( x _{o}, y _{o} \right), -1 \right]}\)

Wektor normalny plaszczyny \(\displaystyle{ x-y-z = 3}\) :

\(\displaystyle{ \left[ 1, -1, -1\right]}\)

Równanie płaszczyzny stycznej:

\(\displaystyle{ z-z _{o} = \frac{df}{dx}\left( x _{o}, y _{o} \right)\left( x-x _{o} \right)+\frac{df}{dy}\left( x _{o}, y _{o} \right)\left( y-y _{o} \right)}\)

\(\displaystyle{ \frac{df}{dx} = \frac{2x}{y^2+x^2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{df}{dy} = \frac{-2x ^{2} }{y^3+x^2y}}\)

Równoległość wektorów:

\(\displaystyle{ \left[\frac{2x}{y^2+x^2} , \frac{-2x ^{2} }{y^3+x^2y}, -1 \right] \left| \right|\left [ 1, -1, -1\right]}\)

\(\displaystyle{ \frac{\frac{2x}{y^2+x^2}}{1} = \frac{\frac{-2x ^{2} }{y^3+x^2y}}{-1} = \frac {-1}{-1}}\)

Jest równoległa dla:

\(\displaystyle{ x _{o} = 1}\)

Wyznaczenie \(\displaystyle{ z _{o}}\) :
\(\displaystyle{ z _{o} = f(1, 1) = \ln \left| 1+\left( \frac{1}{1}\right) ^{2} \right| = \ln \left| 2\right|}\)

Równanie płaszczyzny stycznej:

\(\displaystyle{ z-\ln \left| 2\right| = x-1-y+1}\)

\(\displaystyle{ z-x+y-\ln \left| 2\right| = 0}\)