Pochodna kierunkowa funkcji wielu zmiennych

[Pisiuu]

Bardzo proszę sprawdzenie poprawności poniższych zadań

A) Oblicz pochodną kierunkową funkcji \(\displaystyle{ f\left( x, y, z\right) = \frac{\sin (xy)+z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}\) w punkcie \(\displaystyle{ P(0, 1, \sqrt{3})}\) w kierunku wersora \(\displaystyle{ v=\left( -\frac{1}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{5}}{3}\right)}\)

\(\displaystyle{ \frac{df}{dx} = \frac{(\cos (xy)y)\sqrt{x^2+y^2+z^2}-(\sin (xy)+z)\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}{x^2+y^2+z^2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{df}{dx}\left( 0, 1, \sqrt{3}\right) = \frac{(\cos (0) \cdot 1 \cdot \sqrt{0+1+3})-(\sin (0)+\sqrt{3}) \cdot 0}{0+1+3} = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{df}{dy} = \frac{(\cos (xy)x)\sqrt{x^2+y^2+z^2}-(\sin (xy)+z)\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}{x^2+y^2+z^2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{df}{dy}\left( 0, 1, \sqrt{3}\right) = \frac{(\cos (0) \cdot 0 \cdot \sqrt{0+1+3})-(\sin (0)+\sqrt{3}) \cdot \frac{1}{\sqrt{0+1+3}}}{0+1+3} = -\frac{\sqrt{3}}{8}}\)

\(\displaystyle{ \frac{df}{dz} = \frac{(0+1)\sqrt{x^2+y^2+z^2}-(\sin (xy)+z)\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}{x^2+y^2+z^2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{df}{dz}\left( 0, 1, \sqrt{3}\right) = \frac{1 \cdot \sqrt{0+1+3}-(\sin (0)+\sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{0+1+3}}}{0+1+3} = \frac{1}{8}}\)

\(\displaystyle{ grad\left( f\left( P\right) \right) = \left[ \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{8}, \frac{1}{8}\right]}\)

\(\displaystyle{ fv = \left[ \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{8}, \frac{1}{8}\right] \cdot \left[ -\frac{1}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{5}}{3}\right] = \left[ -\frac{1}{6}, -\frac{1}{8}, \frac{\sqrt{5}}{24}\right]}\)

[karolex123]

Z tego co widzę rachunki są dobrze. Ale pochodna kierunkowa \(\displaystyle{ f}\) nie jest wektorem, tylko liczbą rzeczywistą (w tym wypadku)!

[Pisiuu]

Z tego co widzę rachunki są dobrze. Ale pochodna kierunkowa \(\displaystyle{ f}\) nie jest wektorem, tylko liczbą rzeczywistą (w tym wypadku)!

To jak to ma wyglądać :CCCCCCCCCCCC

[karolex123]

Liczysz iloczyn skalarny gradientu \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ P}\) z wektorem \(\displaystyle{ v}\):
\(\displaystyle{ \nabla f \cdot v=- \frac{1}{6}- \frac{1}{8}+ \frac{ \sqrt{5} }{24}=..}\)

[Pisiuu]

Bardzo proszę sprawdzenie poprawności poniższych zadań

A) Oblicz pochodną kierunkową funkcji \(\displaystyle{ f\left( x, y, z\right) = \frac{\sin (xy)+z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}\) w punkcie \(\displaystyle{ P(0, 1, \sqrt{3})}\) w kierunku wersora \(\displaystyle{ v=\left( -\frac{1}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{5}}{3}\right)}\)

\(\displaystyle{ \frac{df}{dx} = \frac{(\cos (xy)y)\sqrt{x^2+y^2+z^2}-(\sin (xy)+z)\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}{x^2+y^2+z^2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{df}{dx}\left( 0, 1, \sqrt{3}\right) = \frac{(\cos (0) \cdot 1 \cdot \sqrt{0+1+3})-(\sin (0)+\sqrt{3}) \cdot 0}{0+1+3} = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{df}{dy} = \frac{(\cos (xy)x)\sqrt{x^2+y^2+z^2}-(\sin (xy)+z)\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}{x^2+y^2+z^2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{df}{dy}\left( 0, 1, \sqrt{3}\right) = \frac{(\cos (0) \cdot 0 \cdot \sqrt{0+1+3})-(\sin (0)+\sqrt{3}) \cdot \frac{1}{\sqrt{0+1+3}}}{0+1+3} = -\frac{\sqrt{3}}{8}}\)

\(\displaystyle{ \frac{df}{dz} = \frac{(0+1)\sqrt{x^2+y^2+z^2}-(\sin (xy)+z)\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}{x^2+y^2+z^2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{df}{dz}\left( 0, 1, \sqrt{3}\right) = \frac{1 \cdot \sqrt{0+1+3}-(\sin (0)+\sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{0+1+3}}}{0+1+3} = \frac{1}{8}}\)

\(\displaystyle{ grad\left( f\left( P\right) \right) = \left[ \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{8}, \frac{1}{8}\right]}\)

\(\displaystyle{ fv = \left[ \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{8}, \frac{1}{8}\right] \cdot \left[ -\frac{1}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{5}}{3}\right] = \left[ -\frac{1}{6}, -\frac{1}{8}, \frac{\sqrt{5}}{24}\right]}\)

Powinno być
\(\displaystyle{ fv = \left[ \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{8}, \frac{1}{8}\right] \cdot \left[ -\frac{1}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{5}}{3}\right] = -\frac{1}{6} -\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{24} = \frac{\sqrt{5}-7}{24}}\)

[Dasio11]

Nie wiem, czy na Twojej uczelni wymagana jest taka dokładność, ale: żeby rozwiązanie było w pełni poprawne, należy jeszcze uzasadnić, że pochodna w kierunku wektora \(\displaystyle{ v}\) jest w tym przypadku równa iloczynowi skalarnemu \(\displaystyle{ v}\) z gradientem. Chyba że u Was zdefiniowano pochodną kierunkową w taki właśnie (niestandardowy) sposób.