Granica z sin(x)

[Hero_of_Stalingrad]

Jak wykazać, że liczenie granicy \(\displaystyle{ \lim_{x\to\(0} \frac{\sin x}{x}}\) za pomocą reguły de l'Hospitala jest niezbyt poprawne matematycznie? Jak na razie udało mi się dojść do tego, że to wyrażenie już samo w sobie definiuje się już jako jeden, ale nie wiem jak to ładnie rozpisać, żeby wyszedł z tego dowód matematyczny.

Z góry dziękuję za pomoc.

[Jan Kraszewski]

Jak wykazać, że liczenie granicy \(\displaystyle{ \lim_{x\to\(0} \frac{\sin x}{x}}\) za pomocą reguły de l'Hospitala jest niezbyt poprawne matematycznie?

Zastosowanie reguły de l'Hospitala wymaga skorzystania z pochodnych, co z kolei wymaga znajomości pochodnej funkcji sinus, którą wyznaczasz korzystając z tego, że \(\displaystyle{ \lim_{x\to\(0} \frac{\sin x}{x}}\). No i złapałeś się za własny ogon...

Jak na razie udało mi się dojść do tego, że to wyrażenie już samo w sobie definiuje się już jako jeden,

To, że ta granica wynosi jeden nie ma nic wspólnego z definiowaniem - mylisz pojęcia.

JK

[Premislav]

Zawsze można sobie wyobrazić, że wprowadzamy (jak to u nas na UWr robiło się na funkcjach analitycznych, a na UJ niekiedy na I semie, z tego co pamiętam z drugiej ręki)
\(\displaystyle{ \sin x:= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\)
czy
\(\displaystyle{ \cos x:= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}}\)
i to, wraz z twierdzeniem o różniczkowaniu szeregów potęgowych (oraz jego dowodem)
pozwala uniknąć tego błędnego koła, więc ja bym powiedział, że nie da się „wykazać' tego, co chciałeś.
Co to znaczy „jest niezbyt poprawne matematycznie"?

[Hero_of_Stalingrad]

Ogólnie, problemem dowodu jest to, dlaczego nie powinno się tu stosować reguły de l'Hospitala w tym przypadku. Ma to być rzekomo matematyczna bzdura - a naszym zadaniem na koniec semestru jest wykazać - dlaczego. Powinienem pójść w tym kierunku, że prowadzi to do zwykłego zapętlenia operacji? Jeśli tak, w jaki sposób to rozpisać?

[Jan Kraszewski]

Premislav, myślę, że chodzi raczej o to, jak typowo podchodzi się granic, pochodnych itd.

JK

[Premislav]

Jeżeli sinus i cosinus nie były wprowadzone przez szeregi potęgowe lub za pomocą funkcji wykładniczej, to faktycznie dostajesz błędne koło, ale ja bym powiedział, ze nic tu nie można udowodnić. Można uzasadnić, czemu coś nie jest przekonującym argumentem dowodowym, ale w matematyce udowadnia się twierdzenia/lematy, a to, do czego tutaj dążysz, nie ma charakteru twierdzenia.

A sytuacja jest tutaj dokładnie taka jak z katolikami i rozumowaniem kołowym w obronie ich religii.
Czemu Biblia głosi prawdę o istocie boskiej i sensie ludzkiego życia?
– Ponieważ sam Bóg o tym zaświadcza.
A gdzie też to zaświadczenie można ujrzeć?
– No jak to gdzie? W Biblii.

Granica \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}}\), jak się jej dobrze przyjrzeć, to jest dokładnie pochodna funkcji \(\displaystyle{ \sin t}\) w zerze. Tylko nie wiem, Hero_of_Stalingrad, czy próbowałeś kiedyś korzystać z definicji pochodnej, by udowodnić, że \(\displaystyle{ (\sin x)'=\cos x}\). Nie unikniesz tam rozważania… dokładnie tej samej granicy! Ale tak właściwie napisał to już Pan Kraszewski poprzednio.

[Hero_of_Stalingrad]

Po policzeniu pochodnej \(\displaystyle{ \sin x}\) z definicji doszedłem do momentu, w którym wyszło \(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{2\sin \frac{h}{2} }{h} \cdot \frac{\cos(x+ \frac{h}{2}) }{h}}\), przy czym wynik wyrażenia po lewej sprowadzi się do własności \(\displaystyle{ \lim_{ h\to 0} \frac{\sin x}{x}=1}\) i wyjdzie ostatecznie \(\displaystyle{ h \rightarrow 0 \Rightarrow \cos(x+ \frac{h}{2}) \rightarrow \cos x}\). Czy to wystarczający powód, by stwierdzić, że stosowanie w tym przypadku reguły de l'Hospitala jest bezzasadne? Bo w zadaniu chodzi o wskazanie na tą bezzasadność właśnie.

[Premislav]

Tak.