Prawostronna ciągłość funkcji

[Bran]

Wiadomo, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\) jeżeli \(\displaystyle{ x_0}\) należy do dziedziny funkcji \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)}\).

Natomiast zastanawia mnie jak sprawdzić czy funkcja jest prawostronnie ciągła na całej swojej dziedzinie. Jest na to jakiś sposób?

[Jan Kraszewski]

Wiadomo, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\) jeżeli \(\displaystyle{ x_0}\) należy do dziedziny funkcji \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)}\).

Prawostronnie ciągła.

Natomiast zastanawia mnie jak sprawdzić czy granica jest prawostronnie ciągła na całej swojej dziedzinie. Jest na to jakiś sposób?

Co to znaczy "granica jest prawostronnie ciągła"?

JK

[Bran]

Chodzi oczywiście o funkcje, nie o granice.

[Janusz Tracz]

Funkcja jest prawostronnie ciągła na dziedzinie (niekoniecznie naturalnej, jakimś zbiorze \(\displaystyle{ D}\)) gdy dla każdego elementu tego zbioru zachodzi \(\displaystyle{ \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)}\). Dokładnie taka sama definicja obowiązuje funkcje ciągła. Poza tym ciągłość pociąga za sobą ciągłość prawostronną (lewostronną) ale nie odwrotnie.

[Bran]

Janusz Tracz, jeżeli dziedzina ma nieskończenie wiele elementów (a raczej wtedy jest sens pytać o ciągłość), to sprawdzanie wszystkich punktów dziedziny może okazać się delikatnie mówiąc mało efektywne.
Jest jakiś sposób, żeby móc to określić w rozsądnym czasie?

[Janusz Tracz]

Bez podania kontekstu trudno sensownie odpowiedzieć. Funkcja \(\displaystyle{ f:\left[ 0,1\right] \rightarrow \RR}\) dana wzorem \(\displaystyle{ f(x)=x}\) jest prawostronnie ciąga na \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]}\) dowód jest prosty. Ustalmy dowolny \(\displaystyle{ x_0\in\left[ 0,1\right]}\) i zauważmy, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to x_0^+} x = x_0}\). Jak widać mimo, że punktów w \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]}\) jest nieskończenie wiele to nie było to przeszkodą do zbadania ciągłość z definicji. Wystarczyło ustalić dowolny.

[Bran]

Czy taka granica prawostronna dla \(\displaystyle{ x_0 = 1}\) istnieje?

[Janusz Tracz]

Nie istnieje, a nawet nie ma podstaw by o niej mówić bo funkcja nie jest określona dla \(\displaystyle{ x}\) większych od \(\displaystyle{ 1}\) więc dążyć do \(\displaystyle{ 1}\) nie ma po czym.

[Bran]

Ustalmy dowolny \(\displaystyle{ x_0\in\left[ 0,1\right]}\)

W tym świetle więc raczej: Ustalamy dowolny \(\displaystyle{ x_0inleft[ 0,1
ight)}\) ?

[Janusz Tracz]

Dokładnie

[Bran]

Dziękuję!