Oblicz granice funkcji

[Izab321]

\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{ e ^{ \frac{-1}{x ^{2} +y ^{2} } }}{x ^{4}+y ^{4} }}\)
Wprowadziłam współrzędne biegunowe i nwm jak policzyć granicę tego:

\(\displaystyle{ \lim_{r\to0} \frac{e ^{ \frac{-1}{r ^{2}} }}{r ^{4} }}\)

[szw1710]

To kiepsko wprowadzasz, albo to są jakieś współrzędne biegunowe ,,po Twojemu'. Na ogół \(\displaystyle{ x^4+y^4\ne r^4.}\)

[Premislav]

Natomiast można skorzystać z szacowania \(\displaystyle{ x^4+y^4\ge \frac{(x^2+y^2)^2}{2}}\), z którego (no i z oczywistych spostrzeżeń) wynika
\(\displaystyle{ 0<\frac{ e ^{ \frac{-1}{x ^{2} +y ^{2} } }}{x ^{4}+y ^{4} }\le \frac{2e^{-\frac{1}{x^2+y^2}}}{(x^2+y^2)^2}}\), a tę granicę
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{2e^{-\frac{1}{x^2+y^2}}}{(x^2+y^2)^2}}\)
bez problemu można obliczyć dzięki wprowadzeniu wspomnianych współrzędnych biegunowych.

Dalej nie powinno być problemu. Granice typu
\(\displaystyle{ \lim_{t \to \infty} \frac{W(t)}{e^t},}\) gdzie \(\displaystyle{ W(t)}\) jest wielomianem, to totalne podstawy analizy matematycznej (jak ktoś nie umie inaczej, to można z de l'Hospitala).

[Izab321]

Część z sinusem i cosinusem już oszacowałam i miałam problem z tączęścią , którą podałam wyżej, więc stwierdziłam, że nie ma potrzeby przytaczać dalszej część skoro tam nie mam wątpliwości

A pytam się o to, bo w odpowiedziach mam podana wskazówkę, że za \(\displaystyle{ \frac{1}{r ^{2} }}\)trzeba podstawić \(\displaystyle{ y ^{2}}\) ale sądziłam , że nie wolno tak bezkarnie podstawiać, więc się zapytałam

[Premislav]

Ależ wolno (tylko lepiej nie używać literki \(\displaystyle{ y}\), bo już się pojawiła wcześniej), tylko że trzeba uwzględnić, do czego po takim podstawieniu będzie dążyć nowa zmienna.

[Izab321]

Właśnie to jest ta sama literka \(\displaystyle{ y}\) i nie mam pojęcia dlaczego możemy ją po prostu podstawić.
W dopisku jest tez ,,Nietrudno sprawdzić , że ta granica(którą wyżej napisałam) jest równa \(\displaystyle{ 0}\). Wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ \frac{1}{r ^{2} } =y}\)"

[Premislav]

No to nie powinna być ta sama litera, ale to szczegół.

Możliwość wykonania takiego podstawienia wynika z definicji granicy funkcji.

[Izab321]

Ale wtedy \(\displaystyle{ y \rightarrow \infty}\) tak?

[Premislav]

Zgadza się.

[Izab321]

Jeszcze mam pytanie skąd to oszacowanie \(\displaystyle{ x^4+y^4\ge \frac{(x^2+y^2)^2}{2}}\)?

[Premislav]

Równoważnie:
\(\displaystyle{ \frac{2(x^4+y^4)}{2} - \frac{\left( x^2+y^2\right)^2 }{2} \ge 0\\ \frac{2x^4+2y^4-x^4-2x^2y^2-y^2}{2} \ge 0\\ \frac{(x^2-y^2)^2}{2} \ge 0}\)
a to jest oczywiste.
Można też udowodnić tę nierówność, korzystając z nierówności Cauchy'ego-Schwarza, ale to trochę przerost formy nad treścią.