Istnienie i ciągłość pochodnych cząstkowych

[Precelina]

Zbadać istnienie i ciągłość pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu funkcji:
\(\displaystyle{ f(x,y) = \left\{ \begin{array}{ll}
y^{2} \cdot \sin\left(\dfrac{x}{y} \right) & \textrm{gdy y} \neq 0 \\
0 & \textrm{gdy y} = 0\\
\end{array} \right.}\)

Problem w tym,że nie wiem jak rozpisać istnienie pochodnej cząstkowej z definicji.. Czy trzeba sprawdzić jej istnienie w punkcie (x,0) ?

[Premislav]

A wiesz, jak rozpisać z definicji pierwszą pochodną funkcji jednej zmiennej? To tutaj robisz podobnie, tylko gdy liczysz pochodną cząstkową po \(\displaystyle{ x}\), to \(\displaystyle{ y}\) traktujesz jak stałą (i na odwrót).-- 29 maja 2019, o 15:05 --Aha, poza punktami postaci \(\displaystyle{ (x,0)}\) dla \(\displaystyle{ x\in \RR}\) istnienie pochodnych cząstkowych jest oczywiste. Do samych obliczeń może zaś się przydać znajomość tej granicy
\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0}\frac{\sin t}t=1}\)