ciagłość, styczna, całkowalność

[rilekt]

Witam, badam funkcję:

\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} \sin x &\text{dla } x \ge 0\\x^2 &\text{dla } x<0 \end{cases}}\)

Muszę odpowiedzieć na pytania:
- czy \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w \(\displaystyle{ [-2, 2]}\)? dlaczego?
- czy istnieje styczna w punkcie \(\displaystyle{ (-2, f(-2))}\) dlaczego?
- czy \(\displaystyle{ f}\) jest całkowalna w \(\displaystyle{ [-2, 2]}\)? dlaczego?

Głównie nie wiem jak się za to zabrać, ponieważ nie wiem jakie są warunki konieczne/wystarczające ciagłości/istnienie stycznej/całkowalności. Jaka powinna być odpowiedź?

Z góry dziękuję!

[MrCommando]

Wszystkie te warunki są chociażby na Wikipedii, wystarczy po prostu wpisać.

1) Granice w zerze zbadaj, w innych punktach funkcja jest ciągła, ponieważ dana jest wzorami funkcji ciągłych.
2) Wystarczy sprawdzić istnienie pochodnej w minus dwójce.
3) Jak funkcja będzie ciągła to i całkowalna, więc patrz punkt 1.

[rilekt]

Dzięki @MrCommando,
a więc:
1) jest ciągła, ponieważ \(\displaystyle{ \lim_{x\to0} \sin x = 0}\)
2) wystarczy obliczyć pochodną w \(\displaystyle{ x = -2}\)?
istnieje styczna, ponieważ \(\displaystyle{ f'(-2) = 4}\)
3) jest całkowalna, ponieważ jest ciągła na przedziale \(\displaystyle{ [-2, 2]}\)

[a4karo]

1 zły argument. We wskazówce byłaś liczba mnoga.

2 źle. Definicja pochodnej się kłania

[rilekt]

1 zły argument. We wskazówce byłaś liczba mnoga.

2 źle. Definicja pochodnej się kłania

2. Muszę obliczyć granicę lewostronną oraz prawostronną?
\(\displaystyle{ \lim_{x\to0-} \sin x = 0}\) i \(\displaystyle{ \lim_{x\to0+} \sin x = 0}\)

3. Nie mam pojęcia jak to zrobić w moim przykładzie, mógłbyś wyjaśnić?

[Jan Kraszewski]

2. Muszę obliczyć granicę lewostronną oraz prawostronną?
\(\displaystyle{ \lim_{x\to0-} \sin x = 0}\) i \(\displaystyle{ \lim_{x\to0+} \sin x = 0}\)

Nie w ten sposób. Masz policzyć \(\displaystyle{ \lim_{x\to0^-} f(x)}\) i \(\displaystyle{ \lim_{x\to0^+} f(x)}\), bo to jedyny sposób, by wyznaczyć \(\displaystyle{ \lim_{x\to0} f(x)}\), której to granicy potrzebujesz do sprawdzenia ciągłości w zerze.

JK

[rilekt]

Ok, więc \(\displaystyle{ \lim_{x\to0^-} f(x) = 0}\) , \(\displaystyle{ \lim_{x\to0^+} f(x) = 0}\) oraz \(\displaystyle{ f(0) = 0}\), więc \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w \(\displaystyle{ 0}\). Teraz chyba dobrze

[Jan Kraszewski]

Dobrze, ale nie uzasadniłeś, dlaczego \(\displaystyle{ \lim_{x\to0^-} f(x) = 0 , \lim_{x\to0^+} f(x) = 0.}\)

JK

[rilekt]

Nadal pozostało mi do rozwiązania zadanie 1), a dokładniej, jak udowodnić, że istnieje pochodna funkcji \(\displaystyle{ f}\) w \(\displaystyle{ x = -2}\). Dałby ktoś radę to krótko wytłumaczyć?

[Jan Kraszewski]

Powinieneś wiedzieć, że posiadanie przez funkcję pochodnej w punkcie jest własnością lokalną. A w otoczeniu punktu \(\displaystyle{ x=-2}\) funkcja \(\displaystyle{ f}\) zadana jest wzorem \(\displaystyle{ f(x)=x^2}\).

JK