Dowód ciągłości funkcji

[hack2yrjoy]

Witam, chciałbym się dowiedzieć, czy moje rozumowanie jest prawidłowe przy dowodzeniu ciągłości funkcji \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{x}}\) dla \(\displaystyle{ x \geq 0}\).
Powołuję się tu na definicję przedstawioną w rachunku różniczkowym i całkowym Fichteholza: aby funkcja była ciągła w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\), potrzeba i wystarczy, żeby przyrost jej wartości \(\displaystyle{ \Delta y_0}\) dążył do zera wraz z przyrostem \(\displaystyle{ \Delta x_0}\) zmiennej niezależnej.

Tak więc nadaję zmiennej niezależnej \(\displaystyle{ x_0}\) przyrost \(\displaystyle{ \Delta x_0}\), i w ten sposób tworzę nową wartość argumentu \(\displaystyle{ x = \Delta x_0 + x_0}\), czyli \(\displaystyle{ \Delta x_0 = x - x_0}\).
Przyrost na wartościach funkcji wynosi \(\displaystyle{ \Delta y_0 = f(x) - f(x_0) = f(\Delta x_0 + x_0) - f(x_0) = \sqrt{\Delta x_0 + x_0} - \sqrt{x_0} = \frac{\Delta x_0 + x_0 - x_0}{\sqrt{\Delta x_0 + x_0} + \sqrt{x_0}} = \frac{\Delta x_0}{\sqrt{\Delta x_0 + x_0} + \sqrt{x_0}}}\).
Tak więc kiedy \(\displaystyle{ \Delta x_0 \rightarrow 0 \implies \Delta y_0 \rightarrow 0}\), co dowodzi ciągłości funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \sqrt{x}}\) w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\). Wybór dowolnego \(\displaystyle{ x_0 \geq 0}\) dowodzi ciągłości całej funkcji.

[matmatmm]

Dowód jest niepoprawny, bo jest w nim tzw. błędne koło, czy też inaczej mówiąc założenie tezy. Licząc granicę z \(\displaystyle{ \Delta y_0}\) przy \(\displaystyle{ \Delta x_0\to 0}\) w mianowniku skorzystałeś z tego, że \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta x_0 +x_0}}\) dąży do \(\displaystyle{ \sqrt{x_0}}\), co wynika właśnie z ciągłości funkcji \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\).

[hack2yrjoy]

Dowód jest niepoprawny, bo jest w nim tzw. błędne koło, czy też inaczej mówiąc założenie tezy. Licząc granicę z \(\displaystyle{ \Delta y_0}\) przy \(\displaystyle{ \Delta x_0\to 0}\) w mianowniku skorzystałeś z tego, że \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta x_0 +x_0}}\) dąży do \(\displaystyle{ \sqrt{x_0}}\), co wynika właśnie z ciągłości funkcji \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\).

Zapewne masz rację, ale nie do końca rozumiem, bo powołałem się jedynie na to, że w liczniku mam \(\displaystyle{ \Delta x_0}\), które dąży do zera, no a w mianowniku mam coś różnego od zera, więc cały ułamek dąży do zera, tak więc \(\displaystyle{ \Delta y_0}\) dąży do zera.

[matmatmm]

Ale licząc granicę z ułamka, musisz policzyć granicę licznika (w tym przypadku jest ona równa \(\displaystyle{ 0}\) i z tym się zgadzam) i musisz policzyć też granicę mianownika. Nie wystarczy, że mianownik jest różny od zera. W tym przypadku granica mianownika wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{x_0}+\sqrt{x_0}}\), co jest większe od zera (gdy \(\displaystyle{ x_0>0}\)), ale do policzenia tej granicy wykorzystałeś ciągłość funkcji \(\displaystyle{ f}\) w \(\displaystyle{ x_0}\), czyli tezę.

[karolex123]

Zaproponuję taki argument: niech \(\displaystyle{ x \in \RR}\) będzie dowolny, \(\displaystyle{ x \ge 0}\). Ustalmy też \(\displaystyle{ \epsilon >0}\). Chcemy wskazać taką liczbę dodatnią \(\displaystyle{ \delta}\), że jeśli tylko \(\displaystyle{ \left| x-y\right|< \delta}\), to \(\displaystyle{ \left| \sqrt{x} - \sqrt{y} \right|<\epsilon}\). Połóżmy \(\displaystyle{ \delta=\epsilon ^2}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ \left|\sqrt{x} - \sqrt{y}\right| \le \sqrt{\left| x-y\right| } < \sqrt{\delta} \le \epsilon}\)
o ile tylko \(\displaystyle{ \left| x-y\right|<\delta}\) i \(\displaystyle{ y>0}\). To dowodzi ciągłości funkcji \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{x}}\).

Uwaga: w rzeczywistości powyższe rozumowanie dowodzi czegoś mocniejszego, mianowicie jednostajnej ciągłości funkcji \(\displaystyle{ f}\) na półprostej \(\displaystyle{ [0, + infty)}\). Wynika to z faktu, że dobrana liczba \(\displaystyle{ \delta}\) nie zależy od punktu \(\displaystyle{ x}\) (mimo, że potencjalnie mogliśmy uzależnić naszego \(\displaystyle{ \epsilon}\) od \(\displaystyle{ x}\), by dowieść ciągłości).

[Lorek]

w liczniku mam \(\displaystyle{ \Delta x_0}\), które dąży do zera, no a w mianowniku mam coś różnego od zera, więc cały ułamek dąży do zera

Dość ryzykowne stwierdzenie. A sposób ogólnie dobry, tylko końcówkę trzeba zmienić - pokaż, że wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{\Delta x_0 + x_0} + \sqrt{x_0}}}\) jest ograniczone. (Tyle, że pozostanie jeden newralgiczny przypadek).

[a4karo]

Z
\(\displaystyle{ \left|\sqrt{x} - \sqrt{y}\right| \le \sqrt{\left| x-y\right| }}\)

A jak uzasadniasz tę nierowność?

[karolex123]

Tak samo, jak się pokazuje czemu \(\displaystyle{ \sqrt{x} + \sqrt{y} \ge \sqrt{x+y}}\) dla \(\displaystyle{ x,y \ge 0}\)