Skąd się bierze ta zależność

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
xxdakee
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 7 paź 2018, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Moskwa
Podziękował: 3 razy

Skąd się bierze ta zależność

Post autor: xxdakee »

Witam. W trakcie rozwiązywania zadania doszedłem do momentu w którym musiałem obliczyć pewną granice na której się zaciąłem. Znalazłem gdzieś w internecie pewną zależność która mogłaby rozwiązać mój problem, tylko chciałbym aby mi ktoś wytłumaczył skąd to się bierze, ponieważ chciałbym to zrozumieć a nie bezmyślnie wkuwać

\(\displaystyle{ \lim_{ x \rightarrow a}(b \cdot f(x))= b \cdot \lim_{x \rightarrow a }f(x)}\)

I czy ma to sens dla:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a= \infty \\ b=-1 \end{cases}}\)
szw1710

Re: Skąd się bierze ta zależność

Post autor: szw1710 »

Ten wzór bez problemu zachodzi dla \(\displaystyle{ b\in\RR}\) oraz granicy właściwej czyli skończonej. Dowód jest prosty, stosujemy bezpośrednio definicję granicy. Kluczową jest tu nierówność \(\displaystyle{ |F(x)-G|<\varepsilon.}\) No to popatrz: niech \(\displaystyle{ g=\lim\limits_{x\to a}f(x).}\) Masz \(\displaystyle{ |f(x)-g|<\varepsilon/|b|}\) (oczywiście w pewnych realiach). A szukasz ograniczenia na \(\displaystyle{ |bf(x)-bg|.}\) No to prosto:

\(\displaystyle{ |bf(x)-bg|=|b|\cdot |f(x)-g|<|b|\cdot\varepsilon/|b|=\varepsilon.}\)

Szczegóły definicji (dobór sąsiedztwa punktu \(\displaystyle{ a}\) oraz kwestie granic niewłaściwych) rozważ sam. Ale idea jest taka jak tu naświetliłem.
ODPOWIEDZ