Witam. W trakcie rozwiązywania zadania doszedłem do momentu w którym musiałem obliczyć pewną granice na której się zaciąłem. Znalazłem gdzieś w internecie pewną zależność która mogłaby rozwiązać mój problem, tylko chciałbym aby mi ktoś wytłumaczył skąd to się bierze, ponieważ chciałbym to zrozumieć a nie bezmyślnie wkuwać
\(\displaystyle{ \lim_{ x \rightarrow a}(b \cdot f(x))= b \cdot \lim_{x \rightarrow a }f(x)}\)
I czy ma to sens dla:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a= \infty \\ b=-1 \end{cases}}\)
Skąd się bierze ta zależność
Re: Skąd się bierze ta zależność
Ten wzór bez problemu zachodzi dla \(\displaystyle{ b\in\RR}\) oraz granicy właściwej czyli skończonej. Dowód jest prosty, stosujemy bezpośrednio definicję granicy. Kluczową jest tu nierówność \(\displaystyle{ |F(x)-G|<\varepsilon.}\) No to popatrz: niech \(\displaystyle{ g=\lim\limits_{x\to a}f(x).}\) Masz \(\displaystyle{ |f(x)-g|<\varepsilon/|b|}\) (oczywiście w pewnych realiach). A szukasz ograniczenia na \(\displaystyle{ |bf(x)-bg|.}\) No to prosto:
\(\displaystyle{ |bf(x)-bg|=|b|\cdot |f(x)-g|<|b|\cdot\varepsilon/|b|=\varepsilon.}\)
Szczegóły definicji (dobór sąsiedztwa punktu \(\displaystyle{ a}\) oraz kwestie granic niewłaściwych) rozważ sam. Ale idea jest taka jak tu naświetliłem.
\(\displaystyle{ |bf(x)-bg|=|b|\cdot |f(x)-g|<|b|\cdot\varepsilon/|b|=\varepsilon.}\)
Szczegóły definicji (dobór sąsiedztwa punktu \(\displaystyle{ a}\) oraz kwestie granic niewłaściwych) rozważ sam. Ale idea jest taka jak tu naświetliłem.