Próbowałem znaleźć nierówność, która umożliwiłaby skorzystanie z tw. o 3 ciągach, ale niestety bezskutecznie.Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ \lim_{ (x, y, z)\to(0, 0, 0)} \frac{sin(xyz)}{ \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = 0}\)
Granica funkcji 3 zmiennych
-
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 22 paź 2016, o 14:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 4 razy
Granica funkcji 3 zmiennych
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Granica funkcji 3 zmiennych
Zauważ, że
\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ \lim_{(x, y, z)\to(0, 0, 0) } \frac{\sin (xyz)}{xyz}=1}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ 0 \le \left| \frac{xyz}{ \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\right| \le \left| \frac{xyz}{ \sqrt{x^2}} \right| = \left| yz\right| \rightarrow 0}\)
połącz fakty.
\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ \lim_{(x, y, z)\to(0, 0, 0) } \frac{\sin (xyz)}{xyz}=1}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ 0 \le \left| \frac{xyz}{ \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\right| \le \left| \frac{xyz}{ \sqrt{x^2}} \right| = \left| yz\right| \rightarrow 0}\)
połącz fakty.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Granica funkcji 3 zmiennych
współrzędne sferyczne oczywiście zadziałają. Można to policzyć w głowie zauważając, że mianownik we współrzędnych sferycznych to po prostu \(\displaystyle{ r}\) a licznik jest asymptotyczny z \(\displaystyle{ r^3}\) więc całość spada do \(\displaystyle{ \left( 0,0,0\right)}\) z "prędkością" \(\displaystyle{ \frac{r^3}{r} =r^2}\) które oczywiście dąży do zera zatem granica to zero. Oczywiście to rozumowanie wymaga argumentacji ale to jest dobra heurystyka dlatego rachunki zostawiam jako ćwiczenie (poza tym jedno rozwiązanie już się pojawiło).