Granica funkcji 3 zmiennych

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
pawlo007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 22 paź 2016, o 14:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy

Granica funkcji 3 zmiennych

Post autor: pawlo007 »

Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ \lim_{ (x, y, z)\to(0, 0, 0)} \frac{sin(xyz)}{ \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = 0}\)
Próbowałem znaleźć nierówność, która umożliwiłaby skorzystanie z tw. o 3 ciągach, ale niestety bezskutecznie.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Granica funkcji 3 zmiennych

Post autor: Janusz Tracz »

Zauważ, że

\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ \lim_{(x, y, z)\to(0, 0, 0) } \frac{\sin (xyz)}{xyz}=1}\)

\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ 0 \le \left| \frac{xyz}{ \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\right| \le \left| \frac{xyz}{ \sqrt{x^2}} \right| = \left| yz\right| \rightarrow 0}\)

połącz fakty.
Benny01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1116
Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Podziękował: 74 razy
Pomógł: 115 razy

Re: Granica funkcji 3 zmiennych

Post autor: Benny01 »

Wydaje mi się że przejście na współrzędne sferyczne też tutaj zadziała.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Granica funkcji 3 zmiennych

Post autor: Janusz Tracz »

współrzędne sferyczne oczywiście zadziałają. Można to policzyć w głowie zauważając, że mianownik we współrzędnych sferycznych to po prostu \(\displaystyle{ r}\) a licznik jest asymptotyczny z \(\displaystyle{ r^3}\) więc całość spada do \(\displaystyle{ \left( 0,0,0\right)}\) z "prędkością" \(\displaystyle{ \frac{r^3}{r} =r^2}\) które oczywiście dąży do zera zatem granica to zero. Oczywiście to rozumowanie wymaga argumentacji ale to jest dobra heurystyka dlatego rachunki zostawiam jako ćwiczenie (poza tym jedno rozwiązanie już się pojawiło).
pawlo007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 22 paź 2016, o 14:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy

Re: Granica funkcji 3 zmiennych

Post autor: pawlo007 »

Wielkie dzięki
ODPOWIEDZ