Mam takie zadanie w celach przygotowawczych do kolokwium :
Niech \(\displaystyle{ f : [a,b] \rightarrow \RR}\) będzie ciągła, wypukła i ściśle rosnąca oraz \(\displaystyle{ f(a) = c , f(b) = d}\). Mam wykazać że funkcja odwrotna \(\displaystyle{ f^{-1} : [c,d] \rightarrow [a,b]}\) jest wklęsła.
Niestety, nie mam w ogóle intuicji w tego typu zadaniach :/
Wklęsłość funkcji
-
szw1710
Re: Wklęsłość funkcji
Spróbuj z definicji funkcji odwrotnej. Zapisz nierówność definiującą wklęsłość funkcji \(\displaystyle{ f^{-1}}\) i spróbuj ją sprawdzić mając na uwadze wypukłość funkcji \(\displaystyle{ f}\) (też zapisz sobie definicję wypukłości). Oczywiście ważne będzie to, że \(\displaystyle{ f}\) jest ściśle rosnąca (wtedy \(\displaystyle{ f^{-1}}\) też).
-
mmss
- Użytkownik
- Posty: 170
- Rejestracja: 1 lis 2018, o 15:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Wklęsłość funkcji
Bardzo dziękuje Panom za pomoc. Wskazówkę a4karo, nie do końca rozumiem lecz zalecany tok postępowania przez Pana szw1710, chyba naprowdził na rozwiązanie.
Czy mogłby ktoś spradzić, czy tak jest poprawnie ?
Moje rozwiązanie,
Założenie od monotoniczności jest istotne w celu istnienia funkcji odwrotnej. Jeśli jest ciągła i ściśle(!! wazne że ściśle) rosnąca to istnieje do niej funkcja odwrotna która zachowuja tą samą monotoniczność.
A więc, niech \(\displaystyle{ a,b}\) będą takie że \(\displaystyle{ a+b = 1}\) oraz niech
\(\displaystyle{ f(x_{1}) = y_{1}, f(x_{2}) = y_{2}}\), chcemy pokazać że \(\displaystyle{ f^{-1}(ay_{1} + by_{2}) \ge af^{-1}(y_{1}) + bf^{-1}(y_{2}) = ax _{1} + bx_{2}}\). I teraz wykorzysujemy fakt że \(\displaystyle{ f}\) złożone z \(\displaystyle{ f^{-1}}\) daje nam funkcję identycznościową \(\displaystyle{ x}\), co skutkuje następującą nierównością \(\displaystyle{ ay_{1} + by_{2} = af(x_{1}) + bf(x_{2}) \ge f(ax _{1} + bx_{2})}\) co jest już informacją z polecenia że \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją wypukłą.
Ale mam jedno ale, wydaje mi się że powinienem uzasadnić iż złożenie funkcji \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ f^{-1}}\) nie zmienia znaku nierówności... ale nie widze jak :/ .
-- 13 kwi 2019, o 15:14 --
Chociaż chyba właśnie w celu uzasadnienia tego, trzeba wykorzystać fakt że \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ f^{-1}}\) mają tą samą monotoniczność.
Czy mogłby ktoś spradzić, czy tak jest poprawnie ?
Moje rozwiązanie,
Założenie od monotoniczności jest istotne w celu istnienia funkcji odwrotnej. Jeśli jest ciągła i ściśle(!! wazne że ściśle) rosnąca to istnieje do niej funkcja odwrotna która zachowuja tą samą monotoniczność.
A więc, niech \(\displaystyle{ a,b}\) będą takie że \(\displaystyle{ a+b = 1}\) oraz niech
\(\displaystyle{ f(x_{1}) = y_{1}, f(x_{2}) = y_{2}}\), chcemy pokazać że \(\displaystyle{ f^{-1}(ay_{1} + by_{2}) \ge af^{-1}(y_{1}) + bf^{-1}(y_{2}) = ax _{1} + bx_{2}}\). I teraz wykorzysujemy fakt że \(\displaystyle{ f}\) złożone z \(\displaystyle{ f^{-1}}\) daje nam funkcję identycznościową \(\displaystyle{ x}\), co skutkuje następującą nierównością \(\displaystyle{ ay_{1} + by_{2} = af(x_{1}) + bf(x_{2}) \ge f(ax _{1} + bx_{2})}\) co jest już informacją z polecenia że \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją wypukłą.
Ale mam jedno ale, wydaje mi się że powinienem uzasadnić iż złożenie funkcji \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ f^{-1}}\) nie zmienia znaku nierówności... ale nie widze jak :/ .
-- 13 kwi 2019, o 15:14 --
Chociaż chyba właśnie w celu uzasadnienia tego, trzeba wykorzystać fakt że \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ f^{-1}}\) mają tą samą monotoniczność.
-
szw1710
Re: Wklęsłość funkcji
Tak - korzystamy tu z monotoniczności. Lepiej zredagowałbym jeszcze rozwiązanie, ale Twoje rozumowanie jest dobre.