Chcę zbadać ciągłość w \(\displaystyle{ (0,0)}\):
\(\displaystyle{ f(x, y) = \begin{cases} 0 &\text{dla } (x, y) = (0, 0)& \frac{2y^3+\sqrt{x^2+y^2}x^2+yx^2}{x^2+y^2}\text{dla } (x, y) \neq (0, 0) \end{cases}}\)
Próbowałem pokazać nieciągłość, przez ciągi \(\displaystyle{ (x_n,y_n)=(\frac{1}{n},\frac{1}{n})}\), lecz to nic nie pokazuje.
Więc chciałem pokazać ciągłość, po podstawieniu ciągów myślałem żeby to jakoś ograniczyć z góry, lecz nie mam pomysłu(z dołu wiadomo, przez 0). Jakieś pomysły?
Zbadać ciągłość
-
Unforg1ven
- Użytkownik
- Posty: 308
- Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Włocławek
- Podziękował: 104 razy
- Pomógł: 5 razy
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Zbadać ciągłość
Dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y\in \RR}\) takich, że \(\displaystyle{ x^2+y^2>0}\) mamy z nierówności trójkąta:
\(\displaystyle{ \left|\frac{2y^3+\sqrt{x^2+y^2}x^2+yx^2}{x^2+y^2} \right| \le \frac{2|y|^3}{x^2+y^2}+ \frac{\sqrt{x^2+y^2}x^2}{x^2+y^2}+ \frac{|y|x^2}{x^2+y^2}\le \\ \le 2|y|+|x|+|y|}\)
gdyż
\(\displaystyle{ \frac{|y|^2}{x^2+y^2}\le 1, \\ \frac{\sqrt{x^2+y^2}x^2}{x^2+y^2}=|x|\cdot \frac{|x|}{\sqrt{x^2+y^2}}\le |x|, \\ \frac{x^2}{x^2+y^2}\le 1}\)
\(\displaystyle{ \left|\frac{2y^3+\sqrt{x^2+y^2}x^2+yx^2}{x^2+y^2} \right| \le \frac{2|y|^3}{x^2+y^2}+ \frac{\sqrt{x^2+y^2}x^2}{x^2+y^2}+ \frac{|y|x^2}{x^2+y^2}\le \\ \le 2|y|+|x|+|y|}\)
gdyż
\(\displaystyle{ \frac{|y|^2}{x^2+y^2}\le 1, \\ \frac{\sqrt{x^2+y^2}x^2}{x^2+y^2}=|x|\cdot \frac{|x|}{\sqrt{x^2+y^2}}\le |x|, \\ \frac{x^2}{x^2+y^2}\le 1}\)