Wypukłość funkcji

[mmss]

Cześć, mam problem z tym zadaniem, może ktoś się z podobnym spotkał :
Niech \(\displaystyle{ f : \RR \rightarrow (0, \infty)}\) ma taką własność że dla każdej liczby \(\displaystyle{ A > 0}\) funkcja \(\displaystyle{ A^{x}f(x)}\) jest wypukła. Udowodnić, że funkcja \(\displaystyle{ g(x) = \ln(f(x))}\) jest wypukła.

Czy miałby mógłby wspomóc?

Pozdrawiam.

[a4karo]

Napiszmy \(\displaystyle{ A=e^\alpha}\).
Podnosząc do kwadratu nierówność
\(\displaystyle{ e^{\frac{\alpha(x+y)}{2}}f\left(\frac{x+y}{2}\right)\leq\frac{e^{\alpha x}f(x)+e^{\alpha y}f(y)}{2}}\)
dostajemy
\(\displaystyle{ e^{\alpha(x+y)}f^2\left(\frac{x+y}{2}\right)\leq\left[\frac{e^{\alpha x}f(x)-e^{\alpha y}f(y)}{2}\right]^2 + e^{\alpha(x+y)}f(x)f(y).}\)
Teraz dobieramy \(\displaystyle{ \alpha}\) tak, żeby nawias kwadratowy zniknął.


Inny dowód znajdziesz tu: Paul Montel, Sur les fonctions convexes et les fonctions sousharmoniques, Journ. Math. Pures Appl., 7 1928, 29-60.-- 26 mar 2019, o 07:44 --Warto zauważyć, że to twierdzenie daje pełną charakteryzację logarytmicznej wypukłości, bo zachodzi też implikacja w drugą stronę: jeżeli \(\displaystyle{ \ln f}\) jest wypukła, to dla każdego \(\displaystyle{ \alpha}\) funkcja \(\displaystyle{ e^{\alpha x}f(x)}\) jest wypukła.
To daje m.in. prosty dowód nieoczywistego faktu, że suma (lub ogólniej całka rodziny) funkcji logarytmicznie wypukłych jest logarytmicznie wypukła.