obliczyć prostą granicę
-
- Użytkownik
- Posty: 92
- Rejestracja: 9 lip 2016, o 12:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Skierniewice
- Podziękował: 14 razy
obliczyć prostą granicę
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}}\) \(\displaystyle{ \frac{100^n}{n^n}}\)
Ostatnio zmieniony 24 lut 2019, o 20:01 przez TobiWan, łącznie zmieniany 1 raz.
- xxDorianxx
- Użytkownik
- Posty: 413
- Rejestracja: 1 paź 2016, o 17:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rybnik
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 22 razy
Re: obliczyć prostą granicę
Może lepiej to zobaczysz jak zapiszesz to tak: \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left( \frac{100}{n}\right) ^n}\)
-
- Administrator
- Posty: 34129
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: obliczyć prostą granicę
A co widać lepiej w tej postaci?xxDorianxx pisze:Może lepiej to zobaczysz jak zapiszesz to tak: \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left( \frac{100}{n}\right) ^n}\)
JK
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
obliczyć prostą granicę
Możesz zrobić różnie, na przykład tak:
Zauważmy, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{\frac{100^n}{n^n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{100}{n}=0<1}\), toteż na mocy kryterium Cauchy'ego szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{100^n}{n^n}}\) jest zbieżny. Z warunku koniecznego zbieżności szeregu wynika, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{100^n}{n^n}=0}\).
Albo możesz tak:
Z monotoniczności funkcji wykładniczej wynika, że dla \(\displaystyle{ n>100}\) jest \(\displaystyle{ \left(\frac{100}{n}\right)^n < \frac{100}{n}}\). Ostatecznie w związku z tym, że dla \(\displaystyle{ n>100}\) mamy \(\displaystyle{ 0<\left(\frac{100}{n}\right)^n < \frac{100}{n}}\), to z twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{100}{n}\right)^n=0}\).
Zauważmy, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{\frac{100^n}{n^n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{100}{n}=0<1}\), toteż na mocy kryterium Cauchy'ego szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{100^n}{n^n}}\) jest zbieżny. Z warunku koniecznego zbieżności szeregu wynika, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{100^n}{n^n}=0}\).
Albo możesz tak:
Z monotoniczności funkcji wykładniczej wynika, że dla \(\displaystyle{ n>100}\) jest \(\displaystyle{ \left(\frac{100}{n}\right)^n < \frac{100}{n}}\). Ostatecznie w związku z tym, że dla \(\displaystyle{ n>100}\) mamy \(\displaystyle{ 0<\left(\frac{100}{n}\right)^n < \frac{100}{n}}\), to z twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{100}{n}\right)^n=0}\).