Ciągłość funkcji na liczbach wymiernych i niewymiernych

[Tupensep]

\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} \frac{1}{q} &\text{dla } x= \frac{p}{q} \\ 0 &\text{dla } x\in\QQ '\end{cases}}\)
(ten ułamek jest nieskracalny)
Zbadaj ciągłość funkcji.
Zaczęłam robić to z definicji Heinego, funkcja jest ciągła w \(\displaystyle{ x_0}\) wtedy gdy dla każdego ciągu \(\displaystyle{ (x_n)_{n=1}^\infty}\) zbieżnego do \(\displaystyle{ x_0}\) mamy \(\displaystyle{ f(x_n)\to f(x_0).}\)
1. Dla \(\displaystyle{ x_0}\) niewymiernych
Jeśli wybierzemy dowolny ciąg \(\displaystyle{ (x_n)_{n=1}^\infty}\) po liczbach niewymiernych zbieżny do \(\displaystyle{ x_0}\), to implikacja zachodzi, czyli \(\displaystyle{ 0=f(x_n)\to f(x_0)=0.}\)
Ale możemy też teoretycznie wybrać ciąg na liczbach wymiernych zbieżny do \(\displaystyle{ x_0}\) niewymiernego?
\(\displaystyle{ x_n\to x_0}\). Wtedy \(\displaystyle{ f(x_0)=0}\), czyli wszystko by się zgadzało gdyby \(\displaystyle{ f(x_n)\to 0.}\)
\(\displaystyle{ x_n=\frac{(p_n)}{(q_n)}}\), a \(\displaystyle{ f(\frac{(p_n)}{(q_n)} ) = \frac{1}{q_n}}\) a to będzie zbiegać do zera gdy \(\displaystyle{ q_n \rightarrow \infty}\). Nwm jak do tego podejść, można chyba łatwo pokazać że \(\displaystyle{ q_n}\) nie jest ograniczony od góry, chociażby dlatego że jest nieskończenie wiele liczb pierwszych, ale nie mam pojęcia czy to cokolwiek udowadnia, więc proszę o wyjaśnienie czy moja metoda ma sens i jak się zachować od tego momentu

[Dasio11]

można chyba łatwo pokazać że \(\displaystyle{ q_n}\) nie jest ograniczony od góry, chociażby dlatego że jest nieskończenie wiele liczb pierwszych

Nie rozumiem tego argumentu.

Proponuję tak: ustalmy \(\displaystyle{ x_0 \in \RR \setminus \QQ}\). Zauważmy, że dla każdego \(\displaystyle{ Q \in \NN}\) zbiór liczb postaci \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\), gdzie \(\displaystyle{ p, q \in \ZZ}\), takich że \(\displaystyle{ 1 \le q \le Q}\) oraz \(\displaystyle{ x_0 - 1 < \frac{p}{q} < x_0 + 1}\), jest skończony. W związku z tym istnieje takie \(\displaystyle{ \delta > 0}\), że w przedziale \(\displaystyle{ (x_0 - \delta, x_0 + \delta)}\) liczb tej postaci nie ma. Wtedy \(\displaystyle{ 0 \le f(x) \le \frac{1}{Q+1}}\) dla \(\displaystyle{ x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)}\).

[Tupensep]

Wtedy \(\displaystyle{ 0 \le f(x) \le \frac{1}{Q+1}}\) dla \(\displaystyle{ x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)}\).

Czyli z tego wynika ciągłość w punktach niewymiernych?

[Dasio11]

Tak, z definicji Cauchy'ego.