Granica funkcji bez de l’Hospitala

[TorrhenMathMeth]

Oblicz granicę: \(\displaystyle{ \lim_{x\to1} \frac{1-x^{1/\pi}}{1-x^{1/e}}}\). Jest to znana granica, wynosząca oczywiście \(\displaystyle{ \frac{e}{\pi}}\) ale nie umiem zbytnio zrobić tego bez de l’Hospitala i bez pakowania się w straszne obliczenia. Pomoże ktoś?

[Chromosom]

Bardziej ogólny przypadek:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to1}\frac{1-x^a}{1-x^b}=\lim_{x\to1}\frac{x^a-1}{x-1}\cdot\frac{x-1}{x^b-1}}\)
Rozważmy jeden z czynników:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to1}\frac{x^a-1}{x-1}}\)
Jest to pochodna funkcji potęgowej \(\displaystyle{ f(x)=x^a}\) w punkcie \(\displaystyle{ x_0=1}\), \(\displaystyle{ f^\prime(x)=ax^{a-1}}\). Nie pamiętam dowodu dla dowolnego \(\displaystyle{ a\in\mathbb R}\), proponuję poszukać w google, samodzielnie też spróbuję coś znaleźć i uzupełnić.

[a4karo]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 1}\frac{x^a-1}{x^b-1}=\lim_{x\to 1}\frac{a}{b}\frac{\int_1^x t^{a-1}dt}{\int_1^x t^{a-1}dt}=\lim_{x\to 1}\frac{a}{b}\frac{(x-1)\xi^{a-1}}{(x-1)\eta^{b-1}}}\),
gdzie \(\displaystyle{ 1<\xi,\eta<x}\) (to w przypadku \(\displaystyle{ x>1)}\)