Udowodnić granice
: 16 gru 2018, o 19:06
Mam udowodnić, że dla:
\(\displaystyle{ a>1, m \in N}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{a^x}{x^m}= \infty}\)
Robiłem to zadanie następująco:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty }\left( \frac{a}{x^{ \frac{m}{x} }}\right)^x=\lim_{x \to \infty } \left( \frac{a}{ \sqrt[x]{x}^m }\right)^x = \infty}\)
Gdyż:
\(\displaystyle{ \sqrt[x]{x}=1}\)
A więc mianownik zbiega do \(\displaystyle{ 1}\), czyli \(\displaystyle{ \left( \frac{a}{ \sqrt[x]{x}^m }\right)}\) będzie większe od \(\displaystyle{ 1}\), czyli całość będzie rozbieżna do nieskończoności. Ten dowód wydaje mi się trochę naciągany, ale na nic lepszego nie wpadłem.
\(\displaystyle{ a>1, m \in N}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{a^x}{x^m}= \infty}\)
Robiłem to zadanie następująco:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty }\left( \frac{a}{x^{ \frac{m}{x} }}\right)^x=\lim_{x \to \infty } \left( \frac{a}{ \sqrt[x]{x}^m }\right)^x = \infty}\)
Gdyż:
\(\displaystyle{ \sqrt[x]{x}=1}\)
A więc mianownik zbiega do \(\displaystyle{ 1}\), czyli \(\displaystyle{ \left( \frac{a}{ \sqrt[x]{x}^m }\right)}\) będzie większe od \(\displaystyle{ 1}\), czyli całość będzie rozbieżna do nieskończoności. Ten dowód wydaje mi się trochę naciągany, ale na nic lepszego nie wpadłem.