Udowodnić granice

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de'l Hospitala.
85213
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 7 sty 2018, o 19:29
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 31 razy
Pomógł: 6 razy

Udowodnić granice

Post autor: 85213 » 16 gru 2018, o 19:06

Mam udowodnić, że dla:
\(\displaystyle{ a>1, m \in N}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{a^x}{x^m}= \infty}\)

Robiłem to zadanie następująco:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty }\left( \frac{a}{x^{ \frac{m}{x} }}\right)^x=\lim_{x \to \infty } \left( \frac{a}{ \sqrt[x]{x}^m }\right)^x = \infty}\)
Gdyż:
\(\displaystyle{ \sqrt[x]{x}=1}\)
A więc mianownik zbiega do \(\displaystyle{ 1}\), czyli \(\displaystyle{ \left( \frac{a}{ \sqrt[x]{x}^m }\right)}\) będzie większe od \(\displaystyle{ 1}\), czyli całość będzie rozbieżna do nieskończoności. Ten dowód wydaje mi się trochę naciągany, ale na nic lepszego nie wpadłem.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14372
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 80 razy
Pomógł: 4726 razy

Re: Udowodnić granice

Post autor: Premislav » 16 gru 2018, o 19:14

\(\displaystyle{ \sqrt[x]{x}=1}\)
no chyba nie za bardzo. Za to prawdą jest
\(\displaystyle{ {\red \lim_{x \to \infty}} x^{\frac 1 x}=1}\)
Wobec tego dla ustalonego \(\displaystyle{ m\in \NN}\) będzie również
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty}x^{\frac m x}=1}\)

85213
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 7 sty 2018, o 19:29
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 31 razy
Pomógł: 6 razy

Udowodnić granice

Post autor: 85213 » 16 gru 2018, o 19:19

O to mi chodziło, zawsze zapominać pisać \(\displaystyle{ lim}\). Poza tym moim niedopatrzeniem, to reszta dowody wygląda OK?

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14372
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 80 razy
Pomógł: 4726 razy

Re: Udowodnić granice

Post autor: Premislav » 16 gru 2018, o 19:21

Tak, wtedy ten trop ma sens, np. z definicji granicy wynika, że dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ x}\) jest
\(\displaystyle{ x^{\frac m x}<\frac{a+1}{2}}\)
(wystarczy wziąć \(\displaystyle{ \varepsilon=\frac{a-1}{2}}\)), a wówczas
\(\displaystyle{ \frac{a^x}{x^m}>\left( \frac{2a}{a+1}\right)^x}\).
Może nie trzeba już nawet tego tak rozpisywać, zależy od wymagań (których ja nie znam), być może wystarczy tw. o arytmetyce granic.

ODPOWIEDZ