Udowodnić granice

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
85213
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 7 sty 2018, o 19:29
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 31 razy
Pomógł: 6 razy

Udowodnić granice

Post autor: 85213 » 16 gru 2018, o 19:06

Mam udowodnić, że dla:
\(\displaystyle{ a>1, m \in N}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{a^x}{x^m}= \infty}\)

Robiłem to zadanie następująco:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty }\left( \frac{a}{x^{ \frac{m}{x} }}\right)^x=\lim_{x \to \infty } \left( \frac{a}{ \sqrt[x]{x}^m }\right)^x = \infty}\)
Gdyż:
\(\displaystyle{ \sqrt[x]{x}=1}\)
A więc mianownik zbiega do \(\displaystyle{ 1}\), czyli \(\displaystyle{ \left( \frac{a}{ \sqrt[x]{x}^m }\right)}\) będzie większe od \(\displaystyle{ 1}\), czyli całość będzie rozbieżna do nieskończoności. Ten dowód wydaje mi się trochę naciągany, ale na nic lepszego nie wpadłem.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14923
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 133 razy
Pomógł: 4940 razy

Re: Udowodnić granice

Post autor: Premislav » 16 gru 2018, o 19:14

\(\displaystyle{ \sqrt[x]{x}=1}\)
no chyba nie za bardzo. Za to prawdą jest
\(\displaystyle{ {\red \lim_{x \to \infty}} x^{\frac 1 x}=1}\)
Wobec tego dla ustalonego \(\displaystyle{ m\in \NN}\) będzie również
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty}x^{\frac m x}=1}\)

85213
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 7 sty 2018, o 19:29
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 31 razy
Pomógł: 6 razy

Udowodnić granice

Post autor: 85213 » 16 gru 2018, o 19:19

O to mi chodziło, zawsze zapominać pisać \(\displaystyle{ lim}\). Poza tym moim niedopatrzeniem, to reszta dowody wygląda OK?

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14923
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 133 razy
Pomógł: 4940 razy

Re: Udowodnić granice

Post autor: Premislav » 16 gru 2018, o 19:21

Tak, wtedy ten trop ma sens, np. z definicji granicy wynika, że dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ x}\) jest
\(\displaystyle{ x^{\frac m x}<\frac{a+1}{2}}\)
(wystarczy wziąć \(\displaystyle{ \varepsilon=\frac{a-1}{2}}\)), a wówczas
\(\displaystyle{ \frac{a^x}{x^m}>\left( \frac{2a}{a+1}\right)^x}\).
Może nie trzeba już nawet tego tak rozpisywać, zależy od wymagań (których ja nie znam), być może wystarczy tw. o arytmetyce granic.

ODPOWIEDZ