Matematyka.pl

Mam obliczyć granice z twierdzenia o 3 funkcjach.
Funkcja prezentuję się następująco:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to0 }x \cdot \left[ \frac{1}{x} \right]}\)

Sam robiłem to tak, że podzieliłem na dwa przypadki:
1) \(\displaystyle{ x \rightarrow 0^{+}}\)
\(\displaystyle{ x( \frac{1}{x}-1) \le x\left[ \frac{1}{x}\right] \le x \cdot \frac{1}{x}}\)
A więc granica prawostronna jest równa \(\displaystyle{ 1}\)
2)
\(\displaystyle{ x \rightarrow 0^{-}}\)
Tutaj ograniczenia będą takie same, tylko zmienią się strony, w które te nierówności są skierowane, ale tak właściwie nic to nie zmieni. Granica lewostronna też będzie równa \(\displaystyle{ 1}\).

Czy jest to dobre rozwiązanie? Czy można jakoś uprościć to używając wartości bezwzględnej, żeby nie trzeba było robić na przypadki?

Nie trzeba tego rozbijać na przypadki. Szacowanie \(\displaystyle{ x-1 \le\left[ x \right] \le x}\) działa zawsze więc:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x}-1 \le \left[ \frac{1}{x} \right]
\le \frac{1}{x}}\)

stąd

\(\displaystyle{ 1-x \le x \cdot \left[ \frac{1}{x} \right] \le 1}\)
i gdy \(\displaystyle{ x \rightarrow 0}\) dostajemy z 3 ciągów że \(\displaystyle{ \lim_{x \to0 }x \cdot \left[ \frac{1}{x} \right]
=1}\)

Wygląda jak najbardziej OK. Ja nie widzę takiej metody uproszczenia, co nie znaczy, że ona na \(\displaystyle{ 100\%}\) nie istnieje.
Janusz Tracz, a jak pomnożysz nierówność stronami przez liczbę ujemną, to co się stanie

Premislav pisze:Wygląda jak najbardziej OK. Ja nie widzę takiej metody uproszczenia, co nie znaczy, że ona na \(\displaystyle{ 100\%}\) nie istnieje.
Janusz Tracz, a jak pomnożysz nierówność stronami przez liczbę ujemną, to co się stanie

A gdyby tak nałożyć wartość bezwzględną na tą funkcję.
Czy wynikanie:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0}\left| f(x)\right|=1 \Rightarrow \lim_{ x\to 0}f(x)=1}\)
jest prawdziwe?

Nie jest prawdziwe. Wystarczy położyć \(\displaystyle{ f=-1}\). Dzięki Premislav za tą uwagę, masz rację wydawało mi się że dam radę to uprościć.-- 16 gru 2018, o 15:57 --To znaczy chciałem to uprościć patrząc na to pod innym kątem (już nie istotne jakim, źle interpretowałem zamiary autora) ale teraz widzę że to i tak sprowadzi się do przypadku który napisałeś.